Równania różniczkowe

[Amero34]

Witam, mam problem z rozwiązaniem tych zadań czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak się je robi?

1.Rozwiązać równanie stosując podstawienie u=y/x oraz rozdzielenie zmiennych
\(\displaystyle{ xy'=x+2y
}\)
2.Rozwiązać równanie stosując metodę przewidywań
\(\displaystyle{ y'+y=x+2\sin x}\)

3.Rozwiązać równanie stosując metodę uzmienniania stałej
\(\displaystyle{ y'−y=xe^{2x}}\)

4.Wyznaczyć rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego spełniające
podane warunki początkowe
\(\displaystyle{ y''+3y'+2y=0, y(0)=0, y'(0)=1}\)

[kerajs]

Wytłumaczenie, włącznie z wyprowadzeniem, jak rozwiązywać dany typ równania znajdziesz w podręcznikach, skryptach i swoich notatkach. Nikt nie ma ochoty tracić czasu na ich przepisywanie. Poczytaj, spróbuj rozwiązać te przykłady, a tu pytaj jedynie o problemy z nimi związane.
Na zachętę:
1)
\(\displaystyle{ y'=1+2 \frac{y}{x} }\)
Ten typ równania upraszcza (do równania typu zmienne rozdzielone) podstawienie:
\(\displaystyle{ y=ux \ \ \wedge \ \ y'=u'x+u}\)
co daje:
\(\displaystyle{ u'x+u=1+2u\\
u'x=u+1\\
\frac{\dd u}{u+1}= \frac{\dd x}{x} \\
\int \frac{\dd u}{u+1}=\int \frac{\dd x}{x} \\
\ln \left| u+1\right| =\ln \left| x\right| +C\\
u+1=Cx\\
\frac{y}{x}+1=Cx\\
y=Cx^2-x }\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ y''+3y'+2y=0, y\left( 0\right)=0,y'\left( 0\right)=1\\
\int_{0}^{ \infty }f''(t)e^{-st} \dd t=f'\left( t\right)e^{-st}\biggl|_{0}^{ \infty }- \int_{0}^{ \infty }\left( -s\right)f'\left( t\right)e^{-st} \dd t\\
\int_{0}^{ \infty }f''(t)e^{-st} \dd t=0-f'\left( 0^{+}\right)+s \int_{0}^{ \infty }f'(t)e^{-st} \dd t \\
\int_{0}^{ \infty }f''(t)e^{-st} \dd t=-f'\left( 0^{+}\right)+s\left( f\left( t\right)e^{-st}\biggl|_{0}^{ \infty } - \int_{0}^{ \infty }\left( -s\right)f\left( t\right)e^{-st} \dd t \right) \\
\int_{0}^{ \infty }f''(t)e^{-st} \dd t=-f'\left( 0^{+}\right)+s\left( 0-f\left( 0^{+}\right)+s \int_{0}^{ \infty }f\left( t\right)e^{-st} \right) \\
\int_{0}^{ \infty }f''(t)e^{-st} \dd t=-f'\left( 0^{+}\right)-f\left( 0^{+}\right)s+s^2\int_{0}^{ \infty }f\left( t\right)e^{-st}\\
}\)

\(\displaystyle{ \left( -1-0s+s^2Y\left( s\right) \right)+3\left(0+sY\left( s\right) \right)+2Y\left( s\right)=0\\
-1+\left( s^2+3s+2\right)Y\left( s\right) = 0\\
\left( s^2+3s+2\right)Y\left( s\right)=1\\
Y\left( s\right)=\frac{1}{s^2+3s+2}\\
Y\left( s\right)=\frac{\left( s+2\right)-\left( s+1\right) }{\left( s+2\right)\left( s+1\right) }\\
Y\left( s\right)= \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} \\
y\left( t\right) =e^{-t}-e^{-2t}\\
}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{cases} y'' + 3y{'} +2 = 0, \\ y(0) =0, \ \ y'(0) = 1. \end{cases}}\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ r^2 + 3r +2 = 0. }\)

Pierwiastki równania charakterystycznego

\(\displaystyle{ r_{1} = -2, \ \ r_{2} = -1.}\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

\(\displaystyle{ y_{o} = C_{1} e^{-2x} + C_{2} e^{-x}.}\)

Wrońskian

\(\displaystyle{ \left|\begin{matrix} e^{-2x} & e^{-x} \\ -2e^{-2x} & -e^{-x} \end{matrix} \right| = -e^{-3x}\neq 0. }\)

Obliczamy wartości stałych \(\displaystyle{ C_{1}, \ \ C_{2},}\) uwzględniając warunki początkowe.

\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1} + C_{2} = 0 \\ -2C_{1} - C_{2} = 1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ C_{1} = -1, \ \ C_{2} = 1. }\)

Rozwiązanie szczególne równania jednorodnego

\(\displaystyle{ y = -e^{-2x} + e^{-x}. }\)

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 27 sekundach:

Rachunek operatorowy Jana Mikusińskiego [1]

\(\displaystyle{ \{y''\} + 3\{y' \} +2\{y \} = \{0\} }\)

\(\displaystyle{ s^2 y - 0 -1 +3sy - 0 +2y = 0 }\)

\(\displaystyle{ y(s^2 +3s +2) = 1 }\)

\(\displaystyle{ y = \frac{1}{s^2 +3s +2} = \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} }\)

\(\displaystyle{ (A+B)s +2A +B \equiv 1 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A +B= 0 \\ 2A +B =1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A = 1\\ B = -1. \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ y = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} = \left\{ e^{-t} - e^{-2t} \right\}. }\)

[1] OPERATIONAL CALCULUS. volume I by JAN MIKUSIŃSKI. PWN - POLISH SCIENTIFIC PUBLISHER Warszawa 1983.