Rozwiązywanie równań różniczkowych (podstawienie)

[Iza8723]

Rozwiązać równanie różniczkowe :
\(\displaystyle{ x'=-x ^{2}+t ^{2} +1}\)
Próbowałam podstawić \(\displaystyle{ x=-t+ \frac{1}{u} }\), ale nic to nie dało, bo nie jest to typowe równanie Riccatiego.
Jak postępować w takich przypadkach jak wyżej wymieniony , jakie podstawienie stosować ?

[pkrwczn]

\(\displaystyle{ y_1=-t}\) nie jest rozwiązaniem szczególnym. Ale \(\displaystyle{ y_1=t}\) jest więc spróbuj podstawić \(\displaystyle{ y=t+\frac{1}{u}}\) i wtedy prowadzi to do \(\displaystyle{ u'-1-2t u=0}\), które uzupełniamy czynnikiem całkującym \(\displaystyle{ e^{-t^{2}}}\).
I szukana funkcja to \(\displaystyle{ x=t+ \frac{e^{-t^{2}}}{ C+\int e^{-t^{2}} \dd t } }\) lub \(\displaystyle{ x=t}\).