Równanie niejednorodne metodą Laplace'a

[barczar]

Bardzo proszę o rozwiązanie

\(\displaystyle{ y'-(2y)=te^{2t} }\)

Z góry dziękuję

[kerajs]

\(\displaystyle{ y'-(2y)=te^{2t} }\)

\(\displaystyle{ sL(y)-y(0)-2L(y)= \frac{1}{(s-2)^2} }\)
Niestety brakuje warunku początkowego \(\displaystyle{ y(0)}\).
Niektórzy wtedy przyjmują (choć nie wiem dlaczego) że \(\displaystyle{ y(0)=0}\) , a wtedy:
\(\displaystyle{ sL(y)-2L(y)= \frac{1}{(s-2)^2} \\
L(y)= \frac{1}{(s-2)^3} \\
L(y)= \frac{1}{2} \cdot \frac{2!}{(s-2)^{2+1}} \\
y= \frac{1}{2}t^2e^{2t} }\)

[pkrwczn]

Warunek początkowy można chyba włączyć w rozwiązanie.
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}t^2 e^{2t} + \mathcal{L} \left\{\frac{f(0)}{s-2}\right\} = \frac{1}{2}t^2 e^{2t} + f(0) e^{2t}}\)