Mam problem z równaniem:
\(\displaystyle{ y''+4y'+13yx=0}\)
warunki początkowe: \(\displaystyle{ y(0)=2, y'(0)=-3}\)
Jest to Zagadnienie Cauchy’ego, ale nie mam pojęcia jak to rozwiązać. Pomoże ktoś ?
Równanie różniczkowe 2 rzędu
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 25 cze 2020, o 18:23
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
Równanie różniczkowe 2 rzędu
Ostatnio zmieniony 25 cze 2020, o 18:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równanie różniczkowe 2 rzędu
\(\displaystyle{ y''+4y'+13yx=0}\)
warunki początkowe: \(\displaystyle{ y(0)=2, y'(0)=-3}\)
\(\displaystyle{ y\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+2\right)\left( n+1\right)c_{n+2}x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }4\left( n+1\right)c_{n+1}x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }13c_{n}x^{n+1}=0\\
2c_{2}+ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n+2\right)\left( n+1\right)c_{n+2}x^{n}+4c_{1}+ \sum_{n=1}^{ \infty }4\left( n+1\right)c_{n+1}x^{n}+\sum_{n=0}^{ \infty }13c_{n}x^{n+1}=0\\
2c_{2}+4c_{1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+3\right)\left( n+2\right)c_{n+3}x^{n+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }4\left( n+2\right)c_{n+2}x^{n+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }13c_{n}x^{n+1}=0\\
2c_{2}+4c_{1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }\left[ \left( n+3\right)\left( n+2\right)c_{n+3}+4\left( n+2\right)c_{n+2}+13c_{n+1} \right]x^{n+1}\\
\begin{cases} c_{2}=-2c_{1} \\ c_{n+3}= \frac{-4\left( n+2\right)c_{n+2}-13c_{n} }{\left( n+3\right)\left( n+2\right) } \end{cases} \\
\begin{cases} c_{2}=-2c_{1} \\ c_{n+3}= \frac{-4\left( n+2\right)\left( n+1\right) c_{n+2}-13\left( n+1\right) c_{n} }{\left( n+3\right)\left( n+2\right) \left( n+1\right) } \end{cases} \\
\begin{cases} c_{2}=-2c_{1}\\ \left( n+3\right)!c_{n+3}=-4\left( n+2\right)!c_{n+2}-13\left( n+1\right)n!c_{n} \end{cases} \\
b_{n}=n!c_{n}\\
\begin{cases} b_{2}=-4c_{1} \\ b_{n+3}=-4b_{n+2}-13\left( n+1\right)b_{n} \end{cases} \\
}\)
Teraz zgodnie z warunkami początkowymi mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} b_{0}=2 \\ b_{1}=-3\\b_{2}=12\\b_{n+3}=-4b_{n+2}-13\left( n+1\right)b_{n} \end{cases} }\)
Gdyby okazało się że źle przepisałeś równanie zadanie byłoby dużo łatwiejsze do rozwiązania
Wystarczyłoby bowiem zastosować przekształcenie Laplace
warunki początkowe: \(\displaystyle{ y(0)=2, y'(0)=-3}\)
\(\displaystyle{ y\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }c_{n}x^{n} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+2\right)\left( n+1\right)c_{n+2}x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }4\left( n+1\right)c_{n+1}x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }13c_{n}x^{n+1}=0\\
2c_{2}+ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n+2\right)\left( n+1\right)c_{n+2}x^{n}+4c_{1}+ \sum_{n=1}^{ \infty }4\left( n+1\right)c_{n+1}x^{n}+\sum_{n=0}^{ \infty }13c_{n}x^{n+1}=0\\
2c_{2}+4c_{1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+3\right)\left( n+2\right)c_{n+3}x^{n+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }4\left( n+2\right)c_{n+2}x^{n+1}+\sum_{n=0}^{ \infty }13c_{n}x^{n+1}=0\\
2c_{2}+4c_{1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }\left[ \left( n+3\right)\left( n+2\right)c_{n+3}+4\left( n+2\right)c_{n+2}+13c_{n+1} \right]x^{n+1}\\
\begin{cases} c_{2}=-2c_{1} \\ c_{n+3}= \frac{-4\left( n+2\right)c_{n+2}-13c_{n} }{\left( n+3\right)\left( n+2\right) } \end{cases} \\
\begin{cases} c_{2}=-2c_{1} \\ c_{n+3}= \frac{-4\left( n+2\right)\left( n+1\right) c_{n+2}-13\left( n+1\right) c_{n} }{\left( n+3\right)\left( n+2\right) \left( n+1\right) } \end{cases} \\
\begin{cases} c_{2}=-2c_{1}\\ \left( n+3\right)!c_{n+3}=-4\left( n+2\right)!c_{n+2}-13\left( n+1\right)n!c_{n} \end{cases} \\
b_{n}=n!c_{n}\\
\begin{cases} b_{2}=-4c_{1} \\ b_{n+3}=-4b_{n+2}-13\left( n+1\right)b_{n} \end{cases} \\
}\)
Teraz zgodnie z warunkami początkowymi mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} b_{0}=2 \\ b_{1}=-3\\b_{2}=12\\b_{n+3}=-4b_{n+2}-13\left( n+1\right)b_{n} \end{cases} }\)
Gdyby okazało się że źle przepisałeś równanie zadanie byłoby dużo łatwiejsze do rozwiązania
Wystarczyłoby bowiem zastosować przekształcenie Laplace