Równanie różniczkowe 2 rzędu

[Iza8723]

Mam do rozwiązania następujace równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ x''=(x') ^{2}+x'+ \frac{1}{t ^{2} } }\)
Zrobiłam podstawienie \(\displaystyle{ x'=u}\)
Otrzymałam: \(\displaystyle{ u'=u^{2}+u+ \frac{1}{t ^{2} } }\). Jak rozwiązać dalej to równanie?

[Janusz Tracz]

Otrzymałam: \(\displaystyle{ u'=u^{2}+u+ \frac{1}{t ^{2} } }\). Jak rozwiązać dalej to równanie?

To jest równanie Riccatiego. Aby je rozwiązać dobrze było by mieć jakieś szczególne rozwiązanie, a zgadnięcia takowego może nie być proste. Zamiast tego bardziej obiecującym wydaje się kolejne podstawienie \(\displaystyle{ u= \frac{-s'}{s} }\) które sprowadza nieliniowe równanie do liniowego \(\displaystyle{ t^2s''-t^2s'+s=0}\) ale o zmiennych współczynnikach i drugiego rzędu. Być możne dało by się przestawiać rozwiązanie w postaci szeregu \(\displaystyle{ s(t)= \sum_{}^{} s_nt^n}\) gdzie ciąg \(\displaystyle{ s_n}\) określimy rekurencyjnie. Tak czy inaczej zmierza to w stronę funkcji Bessela i innych nieelementarnych rozwiązań.