Wyznaczenie funkcji ciągłej na podstawie transformaty Laplace'a

[dddsosa]

Witam, prosiłbym o sprawdzenie i pomoc w rozwiązaniu tych trzech podpunktów.

Treść zadania:
Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać

a) \(\displaystyle{ \frac{2s+3}{s(s ^{2}+4s+5) } = \frac{1}{s} \cdot \frac{2s+3}{(s+2) ^{2}+1 }= \frac{1}{s} \cdot ( \frac{2s+4}{(s+2) ^{2}+1} - \frac{1}{(s+2) ^{2}+1} ) }\)
korzystając ze gotowych wzorów

\(\displaystyle{ f(x) = 1 \cdot( 2 \cdot e^{-2x}\cos(x) - e^{-2x}\sin(x) )}\)

Jest to poprawne rozwiązanie?

b) \(\displaystyle{ \frac{3 s^{2} }{( s^{3}-1) ^{2} } = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(s-1) ^{2} } - \frac{s}{( s^{2} +s+1) ^{2} } - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s^{2} +s+1} }\)

tutaj nie wiem co zrobić z tym ułamkiem
\(\displaystyle{ \frac{s}{( s^{2} +s+1) ^{2} }}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{e ^{-s}}{s+1} }\)
W tym przykładzie nie wiem jak zacząć

Z góry bardzo dziękuje za pomoc

[janusz47]

c)

Do obliczenia odwrotnej transformaty Laplace'a

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{e^{-s}}{s+1}\right] }\)

korzystamy z drugiego twierdzenia o przesunięciu:

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[ e^{-as} F(s) \right] = f(t-a)H( t- a).}\)


\(\displaystyle{ F(s) = \frac{1}{s+1}. }\)

\(\displaystyle{ F^{-1}(s) = f(t) = e^{-t}. }\)


\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{e^{-1s}}{s+1}\right] = f(t-1)H(t-1) = e^{-(t-1)} H(t-1) = e^{-t+1}H(t-1). }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ H( t) }\) - funkcja skokowa Heaviside'a.