Ulepszona metoda Eulera

[Criss323]

Witam, mam problem z metodą Eulera i poniższym równaniem różniczkowym:
\(\displaystyle{ 𝑦(𝑥)' = − \sin(𝑥) + y}\)
Polecenie wygląda następująco:
Rozwiąż w pięciu pierwszych krokach ulepszoną metodą Eulera równanie różniczkowe z
uwzględnieniem warunku początkowego sposobem analitycznym
warunek początkowy: \(\displaystyle{ 𝑦(0) = 1, krok: ℎ = 0.1}\)

[janusz47]

Zmodyfikowana metoda Eulera

\(\displaystyle{ y' = -\sin(x) + y }\)

\(\displaystyle{ y(0) =1, \ \ h = 0,1 }\)

\(\displaystyle{ y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2} \left [ f(y_{n+1}, x_{n+1})+ f(x_{n}, y_{n})\right] }\)

Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = y - \sin(x) }\)

\(\displaystyle{ y_{n+1} = y_{n} + \frac{h}{2} \left [ y_{n+1}) - \sin(x_{n+1})+ y_{n} - \sin(x_{n}) \right] }\)

Rozwiązując to równanie względem \(\displaystyle{ y_{n+1},}\) otrzymujemy równanie iteracyjne

\(\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1 + \frac{h}{2}}{1 -\frac{h}{2}} y_{n} - \frac{h}{2 -h}\left[ \sin(x_{n+1}) - \sin(x_{n})\right ] = \frac{2+h}{2-h} y_{n} - \frac{h}{2-h}\left[ \sin(x_{n+1}) - \sin(x_{n}) \right], \ \ n = 0,1,2, ... }\)

Proszę wykonać ręcznie obliczenia lub opracować program na przykład w Matlab-Octave do obliczeń kolejnych wartości \(\displaystyle{ y_{n+1},\ \ n=0,1,2,...}\)
Zastosować kryterium stopu ze względu na dokładność wykonanych obliczeń.