Równanie różniczkowe zwyczajne

[strefa61]

Hej, mamy problem z następującym równaniem:
\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{t+y}}\), moja próba, to było podstawienie: \(\displaystyle{ f=t+y \rightarrow \frac{df}{dt}=1+y' \rightarrow f'-1=1/f}\) ale jak próbuję to rozwiązać ( i tak samo jeśli podstawię: \(\displaystyle{ f=\frac{1}{t+y}}\), to dostaję coś w takiej formie: \(\displaystyle{ f+\ln\left( f\right)=t }\) z czego nie ma jak rozwikłać tej funkcji.
Jak się za to zabrać?

[kerajs]

\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{t+y}}\), moja próba, to było podstawienie: \(\displaystyle{ f=t+y \rightarrow \frac{df}{dt}=1+y' \rightarrow f'-1=1/f}\) ale jak próbuję to rozwiąza to dostaję coś w takiej formie: \(\displaystyle{ f+\ln\left( f\right)=t }\) z czego nie ma jak rozwikłać tej funkcji.

Nie zawsze można uzyskać postać jawną. Pozostaje wtedy cieszyć się formą uwikłaną.
Twoja próba jest sensowna lecz powinnaś dostać:
\(\displaystyle{ f-\ln \left| f+1\right| =t+C\\
y+t-\ln \left| y+t+1\right| =t+C\\
y-\ln \left| y+t+1\right| =C}\)
sądzę że z tego wyliczysz jawne \(\displaystyle{ t}\).

[Janusz Tracz]

Zaproponuję sposób bez podstawiania:

\(\displaystyle{ \frac{ \dd y}{ \dd t}= \frac{1}{t+y} }\)

zapisać można jako

\(\displaystyle{ \frac{ \dd t}{ \dd y}= t+y }\)

\(\displaystyle{ \frac{ \dd t}{ \dd y}-t=y }\)

a to jest równanie liniowa gdzie zmienną niezależną jest \(\displaystyle{ y}\) a zależną \(\displaystyle{ t}\) czyli liczymy \(\displaystyle{ t(y)}\) oczywiście już w standardowy sposób np. czynnikiem całkującym:

\(\displaystyle{ e^{-y}\frac{ \dd t}{ \dd y}-e^{-y}t=e^{-y}y }\)

\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd y} \left( e^{-y}t\right) =e^{-y}y }\)

\(\displaystyle{ t(y) = e^{y}\int e^{-y}y \dd y }\)