Odwzorowania, iloczyn skalarny.

[xdominika]

Oznaczamy \(\displaystyle{ S = \{(x,y) ∈ \RR^2 : x^2 + y^2 = 1\}}\). Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie odwzorowaniem liniowym, \(\displaystyle{ L : (x,y)→(x + y,y)}\). Niech \(\displaystyle{ E = L(S)}\).
a) Opisać zbiór \(\displaystyle{ E}\) równaniem algebraicznym. To zrobiłam. Wyszło mi, że \(\displaystyle{ L^{-1}: (x,y) \rightarrow (x-y,y)}\), więc \(\displaystyle{ E: x^{2}-2xy+2y ^{2}=1 }\)
b) Znaleźć \(\displaystyle{ \max_{x \in E} (x,y), \min_{x \in E} (x,y), \max_{y \in E} (x,y), \min_{y \in E} (x,y). }\) To również zrobiłam. Wyszło mi odpowiednio \(\displaystyle{ 2^{1/2} , - 2^{1/2} , 1, -1.}\)
c) Kiedy warunek \(\displaystyle{ (x,y) \in E}\) pozwala określić funkcję \(\displaystyle{ y = y(x)}\)? Kiedy można określić funkcję \(\displaystyle{ x = x(y)}\)? Czy tutaj chodzi o dunkcje uwikłane? \(\displaystyle{ y}\) musi być różne od \(\displaystyle{ 1/2x}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ x}\) różne od \(\displaystyle{ y}\)?
d) Znaleźć w zbiorze \(\displaystyle{ E}\) punkty najbardziej i najmniej odległe od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\).
e) Wykazać , że \(\displaystyle{ E}\) jest elipsą o środku w początku układu współrzędnych.
f) Napisać równanie stycznej do tej elipsy przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0)∈ E}\).
g) Wykazać, że promień światła wychodzący z ogniska \(\displaystyle{ F_1}\), po odbiciu od elipsy w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0) ∈ E}\) zgodnie z zasadą “kąt padania równa się kątowi odbicia” (kąt mierzymy do stycznej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\)) przechodzi przez ognisko \(\displaystyle{ F_2}\).
h) Symbolem“?” oznaczymy standardowy iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ \RR^2}\), tj. \(\displaystyle{ (v_1,v_2)? (w_1,w_2) = v_1w_1 + v_2w_2}\). Sprawdzić, że macierz \(\displaystyle{ A}\) (w pierwszym wierszu \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\), w drugim wierszu \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 2}\)) jest macierzą pewnego iloczynu skalarnego, tzn. działanie “∗” określone wzorem: \(\displaystyle{ v∗w = v ? (Aw)}\) spełnia wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego.
i) Wyznaczyć “okrąg jednostkowy” w sensie iloczynu skalarnego określonego w poprzednim podpunkcie, tzn. zbiór \(\displaystyle{ S =\{(x,y)∈\RR^{2} : (x,y)∗(x,y) = 1\}}\)
j) Wyznaczyć proste \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ j}\) przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ (0,0}\)), które są prostopadłe do siebie jednocześnie w sensie iloczynu skalarnego “∗” i standardowego iloczynu skalarnego “?”.
Niestety na pozostałe podpunkty nie mam pomysłu.