Rozwiązaniem tego równania będzie \(\displaystyle{ \sigma (x,y) = 3y^3x^2 + y^4 + C}\) jednak mam problem z dalszą częścią zadania i nie wiem jak znaleźć rozwiązanie dla którego wykres przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (1,1) }\)
Równanie zupełne
Równanie zupełne
Znaleźć rozwiązanie równania \(\displaystyle{ 6xy dx + (4y+9x^2) dy = 0}\) oraz znaleźć rozwiązanie, którego wykres przechodzi przez punkt (1,1).
Rozwiązaniem tego równania będzie \(\displaystyle{ \sigma (x,y) = 3y^3x^2 + y^4 + C}\) jednak mam problem z dalszą częścią zadania i nie wiem jak znaleźć rozwiązanie dla którego wykres przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (1,1) }\)
Rozwiązaniem tego równania będzie \(\displaystyle{ \sigma (x,y) = 3y^3x^2 + y^4 + C}\) jednak mam problem z dalszą częścią zadania i nie wiem jak znaleźć rozwiązanie dla którego wykres przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (1,1) }\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Równanie zupełne
\(\displaystyle{ 1)}\) To nie jest równanie różniczkowe zupełne. Być może istnieje czynnik całkujący który sprowadzi to równanie do r.r. zupełnego.
\(\displaystyle{ 2)}\) \(\displaystyle{ \sigma(x,y)}\) nie jest rozwiązaniem. Funkcja \(\displaystyle{ 2}\) zmiennych nie może być rozwiązaniem równania zwyczajnego. Co najwyżej rozwiązanie może być dane funkcją uwikłana \(\displaystyle{ \sigma(x,y) = C}\).
Proponuję pokazać obliczenia oraz poszukać czynnika całkującego zależnego wyłącznie od \(\displaystyle{ y}\) tj. \(\displaystyle{ \mu(y)}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \left( 6xy \mu(y)\right) }{ \partial y}=\frac{ \partial \left( (4y+9x^2) \mu(y)\right) }{ \partial x} }\)
Wtedy będzie można poszukać takiej funkcji \(\displaystyle{ \sigma}\), że \(\displaystyle{ \dd \sigma = 6xy\mu(y) \dd x + (4y+9x^2)\mu(y) \dd y}\).
Dodano po 21 minutach 49 sekundach:
Przeliczyłem to i wyszło, że rozwiązaniem jest funkcja \(\displaystyle{ 3x^2y^3+y^4=C}\). Kładąc do niej \(\displaystyle{ (1,1)}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ C=4}\) zatem rozwiązanie uwzględniającym warunek początkowy jest \(\displaystyle{ 3x^2y^3+y^4=4}\)
\(\displaystyle{ 2)}\) \(\displaystyle{ \sigma(x,y)}\) nie jest rozwiązaniem. Funkcja \(\displaystyle{ 2}\) zmiennych nie może być rozwiązaniem równania zwyczajnego. Co najwyżej rozwiązanie może być dane funkcją uwikłana \(\displaystyle{ \sigma(x,y) = C}\).
Proponuję pokazać obliczenia oraz poszukać czynnika całkującego zależnego wyłącznie od \(\displaystyle{ y}\) tj. \(\displaystyle{ \mu(y)}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \left( 6xy \mu(y)\right) }{ \partial y}=\frac{ \partial \left( (4y+9x^2) \mu(y)\right) }{ \partial x} }\)
Wtedy będzie można poszukać takiej funkcji \(\displaystyle{ \sigma}\), że \(\displaystyle{ \dd \sigma = 6xy\mu(y) \dd x + (4y+9x^2)\mu(y) \dd y}\).
Dodano po 21 minutach 49 sekundach:
Przeliczyłem to i wyszło, że rozwiązaniem jest funkcja \(\displaystyle{ 3x^2y^3+y^4=C}\). Kładąc do niej \(\displaystyle{ (1,1)}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ C=4}\) zatem rozwiązanie uwzględniającym warunek początkowy jest \(\displaystyle{ 3x^2y^3+y^4=4}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równanie zupełne
\(\displaystyle{ 6xy dx + (4y+9x^2) dy = 0}\)
Jeżeli przyjmiemy że \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną niezależną to otrzymamy równanie Bernoullego
\(\displaystyle{ 6xy \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y} + (4y+9x^2) = 0\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+ \frac{2}{3x} + \frac{9x^2}{6xy} =0\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+ \frac{3}{2y} \cdot x=- \frac{2}{3x}\\
}\)
Jeżeli przyjmiemy że \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną niezależną to otrzymamy równanie Bernoullego
\(\displaystyle{ 6xy \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y} + (4y+9x^2) = 0\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+ \frac{2}{3x} + \frac{9x^2}{6xy} =0\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+ \frac{3}{2y} \cdot x=- \frac{2}{3x}\\
}\)