równanie różniczkowe

[shreder221]

Dzień dobry. Czy metoda rozdzielonych zmiennych działa też dla równań 2 rzędu?
tzn Mam równanie:
\(\displaystyle{ \frac{\dd ^{2}x}{\dd t^{2}}\cdot x= -\omega}\)
Czy mogę teraz obliczyć to następująco:
\(\displaystyle{ \dd^{2}x\cdot x=-\omega\cdot \dd t^{2}}\)
\(\displaystyle{ \dd x\cdot \frac{x^{2}}{2}=(-\omega t+c)\cdot \dd t }\).
Wiemy że dla \(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ x=l}\) i \(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd t}=0}\)
Po ponownym przerzuceniu różniczek na jedną stronę i wykorzystaniu warunków brzegowych okazuje się że \(\displaystyle{ c=0}\).
Po przeniesieniu różniczki czasu na drugą stronę i scałkowaniu uzyskuje
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{6}=-\omega \frac{ t^{2}}{2}+c}\) iz warunków brzegowych uzyskuję \(\displaystyle{ c=\frac{l^{3}}{6}}\).

Co sumarycznie daje mi \(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{6}=-\omega \frac{ t^{2}}{2}+\frac{l^{3}}{6}}\).

[Janusz Tracz]

Zawsze można podstawić i zobaczyć czy działa. Ale nie to tak nie działa, a samo równanie nie ma analitycznego rozwiązania.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^2x}{\mbox{d}t^2} \cdot x=-\omega\\
\frac{\mbox{d}^2x}{\mbox{d}t^2}=-\frac{\omega}{x} \\
2\frac{\mbox{d}^2x}{\mbox{d}t^2}=-2\frac{\omega}{x} \\
u\left( x\right)= \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t} \\
\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}t}= \frac{\mbox{d}^2x}{\mbox{d}t^2}\\
\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}= \frac{\mbox{d}^2x}{\mbox{d}t^2}\\
uu'=x''\\
2uu'=-2\frac{\omega}{x}\\
u^2=-2\omega\ln{\left| x\right| }+C_{1}\\
u= \pm \sqrt{C_{1}-2\omega\ln{\left| x\right| }} \\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}= \sqrt{C_{1}-2\omega\ln{\left| x\right| }}\\
\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{C_{1}-2\omega\ln{\left| x\right| }}}= \mbox{d}t\\
\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{C_{1}-2\omega\ln{\left| x\right| }}}} \\
y^2=C_{1}-2\omega\ln{\left| x\right| }\\
2y\mbox{d}y=- \frac{2\omega}{x} \mbox{d}x\\
y\mbox{d}y=- \frac{\omega}{x} \mbox{d}x\\
-\frac{xy}{\omega}\mbox{d}y=\mbox{d}x\\
2\omega\ln{\left| x\right| }=C_{1}-y^2\\
\ln{\left| x\right| }= \frac{C_{1}-y^2}{2\omega}\\
x=e^{\frac{C_{1}-y^2}{2\omega}}\\
-\frac{ye^{\frac{C_{1}-y^2}{2\omega}}}{\omega}= \mbox{d}x\\
- \frac{1}{\omega} \int{e^{\frac{C_{1}-y^2}{2\omega}}\mbox{d}y} \\
}\)

Teraz jeśli znamy funkcję błędu to policzymy tę całkę