Wyznacz całkę szczególną równania

[xpmx]

Witam, czy mógłby mi ktoś powiedzieć, czy to zadanie jest rozwiązane poprawnie? Czy sposób myślenia był dobry?

Wyznacz całkę szczególną równania
\(\displaystyle{ y' + x^{2}y = x^{2} \hspace{1cm} y(2) =1\\
y' + x^{2}y = 0 \\
\frac{dy}{dx} = -x^{2}y \\
\frac{dy}{y} = -x^{2}dx \\
\ln|\frac{y}{C_{1}}|=-\frac{x^{3}}{3}\\
y = C_{1} e^{-\frac{x^3}{3}}}\)

wyliczenie pochodnej:

\(\displaystyle{ y' = C_{1}'(x)e^{-\frac{x^3}{3}} + C_{1}e^{-\frac{x^3}{3}} \cdot (-x^2)}\)

podstawienie \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ y'}\) do \(\displaystyle{ y' + x^{2}y = x^{2}}\) :

\(\displaystyle{ C_{1}'(x)e^{-\frac{x^3}{3}} -x^2C_{1}e^{-\frac{x^3}{3}} +x^2C_{1} e^{-\frac{x^3}{3}} = x^2\\
C_{1}'(x)e^{-\frac{x^3}{3}} = x^2\\
C_{1}'(x) = \frac{x^2}{e^{-\frac{x^3}{3}}}\\
C_{1}(x)= \int x^2e^{\frac{x^3}{3}} \rightarrow \textrm{podstawienie } \frac{x^3}{3} = t \\
C_{1}(x)= \int e^tdt = e^{\frac{x^3}{3}} + C_{2}\\
\textrm{podstawiam do: }y = C_{1}(x)e^{-\frac{x^3}{3}} \\
y = (e^{\frac{x^3}{3}} + C_{2})e^{-\frac{x^3}{3}}=1+C_{2}e^{-\frac{x^3}{3}}\\
y(2) =1 \Rightarrow 1=1+C_{2}e^{-\frac{8}{3}} \\
C_{2}e^{-\frac{8}{3}}=0\\
C_{2}=0 \Rightarrow y=1}\)

[janusz47]

Wygląda na rozwiązanie poprawne.
Jaka jest postać całki szczególnej tego równania?

[xpmx]

Właśnie nie jestem teraz pewna, na końcu wyszło y=1. Czy to może być całka szczególna?

[Jan Kraszewski]

Czy to może być całka szczególna?

Wstaw i sprawdź...

JK

[janusz47]

Tak, funkcja stała \(\displaystyle{ y = 1 }\) jest całką szczególną tego problemu z warunkiem początkowym - problemu Cauchy.

[Mariusz M]

No tak tyle że wygodniej byłoby rozdzielić zmienne

\(\displaystyle{
y'+x^2y=x^2 \qquad y\left( 2\right) =1\\
y'=x^2-x^2y\\
y'=x^2\left( 1-y\right) \\
\frac{\mbox{d}y}{y-1} =-x^2\mbox{d}x\\
\ln{\left| y-1\right| }=- \frac{x^3}{3} +\ln{C_{1}}\\
y-1=C_{1}e^{- \frac{x^3}{3}}\\
y=1+C_{1}e^{- \frac{x^3}{3}}\\
1=1+C_{1}e^{-\frac{8}{3}}\\
0=C_{1}e^{-\frac{8}{3}}\\
C_{1}=0\\
}\)