równanie różniczkowe

[shreder221]

Dzień dobry na mechanice coraz więcej równań różniczkowych pojawia i przestaje sobie radzić zwłaszcza że nie mieliśmy wcześniej żadnych metod ich obliczania wprowadzonych ;( W czasie wielkanocy zamierzam samodzielnie nadrobić żeby chociaż podstawy łapać a tymczasem proszę o pomoc:

Pierwsze z którym sobie samodzielnie nie poradziłem to:
\(\displaystyle{ m\dot{x}^{2}+kx^{2}=2c}\) (1) gdzie k i c są stałymi i \(\displaystyle{ k<0}\)

[Janusz Tracz]

Zacznijmy od przekształcenia

\(\displaystyle{ m\dot{x}^{2}+kx^{2}=2c}\)

\(\displaystyle{ \dot{x}^{2}+ \frac{k}{m} x^{2}= \frac{2c}{m} }\)

niech \(\displaystyle{ \frac{k}{m} = a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{2c}{m} =b}\)

\(\displaystyle{ \dot{x}^{2}+ a x^{2}= b }\)

\(\displaystyle{ \dot{x}^{2}= b-a x^{2} }\)

zatem

\(\displaystyle{ \dot{x}= \pm \sqrt{b-a x^{2} } }\)

wszystko więc opiera się o znak stałych \(\displaystyle{ a,b}\). Czyli bez sprecyzowania dokładnie jakie znaki mają \(\displaystyle{ m,k,c}\) można jedynie dumać. A nie chce nic zakładać bo skoro piszesz, że \(\displaystyle{ k<0}\) to \(\displaystyle{ m<0}\) też mnie nie zdziwi. Tak czy inaczej (o ile \(\displaystyle{ b<0}\) i \(\displaystyle{ a>0}\)) to sprowadzi się to do jakiegoś podstawiania Eulera czy \(\displaystyle{ \tg x}\) czy jakiejś hiperbolicznej funkcji bo

\(\displaystyle{ \dot{x}= \pm \sqrt{b-a x^{2} } }\)

\(\displaystyle{ \frac{ \dd x }{\sqrt{b-a x^{2} }} = \pm \dd t }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{ \dd x }{\sqrt{b-a x^{2} }} = \pm \int \dd t }\)

to jest gotowa całka do policzenia, czeka jedynie na dookreślenia znaku stałych.

PS \(\displaystyle{ 1)}\) Na mechanice często nie trzeba rozwiązywać analitycznie równań wystarczy zapisać ich postać. \(\displaystyle{ 2)}\) Skąd to równanie? Z jakiegoś modelu? Skąd te nieliniowości \(\displaystyle{ x^2}\) itd? Skąd założenie, że \(\displaystyle{ k<0}\) (ja wiem, że matematyka...) ale skoro to mechanika to \(\displaystyle{ k}\) to pewnie jakaś sprężystość?

[shreder221]

Jak skończę obecne zadanie to przeanalizuje i ew się o coś dopytam a tymczasem szybko odpowiem na postscriptum.

PS \(\displaystyle{ 1)}\) Na mechanice często nie trzeba rozwiązywać analitycznie równań wystarczy zapisać ich postać.

Masz na myśli że polecenia brzmią znaleźć równanie xxx?

\(\displaystyle{ 2)}\) Skąd to równanie? Z jakiegoś modelu? Skąd te nieliniowości \(\displaystyle{ x^2}\) itd? Skąd założenie, że \(\displaystyle{ k<0}\) (ja wiem, że matematyka...) ale skoro to mechanika to \(\displaystyle{ k}\) to pewnie jakaś sprężystość?

Polecenie brzmiało

Ukryta treść:    

Cząstka o masie m znajduje się pod działaniem siły F = −kxeˆx, gdzie k jest stałą.
a) Znaleźć energię potencjalną V (x) cząstki.
b) Dla dodatnich i ujemnych wartości k naszkicować możliwe wykresy V (x) i przedyskutować ruch cząstki
korzystając z zasady zachowania energii.

Zatem wyliczyłem potencjał. \(\displaystyle{ v=\frac{1}{2}kx^{2}}\)

znalazłem jakieś parametry ruchu z użyciem zasady zachowanie energii oraz z użyciem równania oscylatora (w jednym z poprzednich zadań podali jego wygląd i rozwiązanie co wykorzystałem do znalezienie równań ruchu przy dodatnim \(\displaystyle{ k}\)

Przy ujemnym zaczęły się schody. Jedyny rozsądny parametr który potrafię wysnuć z zasad zachowania to minimalna prędkość potrzebna do przekroczenia szczytu potencjału. Trochę mało jak na takie polecenie. Wtedy zrozumiałem że prawdopodobnie mieliśmy policzyć całkę energii zamiast korzystać z równań oscylatora (do czego też mam wątpliwości przez ujemne k nie można normalnie podstawić \(\displaystyle{ \omega^{2}}\) a podstawiając z minusem mam postać której rozwiązania nie znam :p póki nie ogarnę rr to mam bardzo ograniczoną możliwość modyfikowania równań)

Zatem zostałem z równaniem \(\displaystyle{ E=T+V=\frac{1}{2}(mv^{2}+kx^{2})=const}\), coś tam kombinowałem w strzelanie ale to \(\displaystyle{ 2c }\)mocno utrudniało. Bo bez niego odpowiednia potęga eksponensa załatwiała chyba sprawę i ot cała historia

Podsumowując nwm czym jest \(\displaystyle{ k}\) w tym przypadku. Bo sprężyna raczej nie działa tak jak wskazuje wykres takiego potencjału (o ile dobrze go rozumiem

Tak czy inaczej dziękuję za pomoc

[Janusz Tracz]

Masz na myśli że polecenia brzmią znaleźć równanie xxx?

Tak. Czasami (to zależy od prowadzącego) wystarczy napisanie równanie różniczkowego bez konieczności jego rozwiązania. Oczywiście nie twierdzę, że u Ciebie tak musi być ale z mojej praktyki wynika, że ma kursie mechaniki przy temacie związanym z drganiami wystarczyło ułożyć odpowiednie równanie lub układ równań. Podobnie z mechaniką analityczną gdzie zadanie kończyło się wyznaczeniem równania Lagrange'a i doprowadzeniu do układu równań najczęściej (choć to akurat zrozumiał bo często równania były nieliniowe).

Zatem wyliczyłem potencjał \(\displaystyle{ v=...}\)

Jeśli o zadanie chodzi to się nie wypowiem bo się nie znam na tym.