Transformata Laplace'a

[jul1a]

Stosując transformatę Laplace'a rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ y"+y=\sin(t)}\).
Koryrzystając z właściwości transformaty doszłam do takiego równania \(\displaystyle{ Y(s)=s^3 + 2s^2 + s + 3 }\) gdzie \(\displaystyle{ Y(s)=L({y(t)})}\) niestety dalej nie wiem jak wyznaczyć \(\displaystyle{ y(t)}\) czyli wyznaczyć transformatę odwrotną do \(\displaystyle{ s^3 + 2s^2 + s + 3 }\). W jaki sposób można to rozwiązać?

[janusz47]

\(\displaystyle{ y'' + y = \sin(t)}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L}[ y'' +y ] = \mathcal{L}[\sin(t)] }\)

\(\displaystyle{ s^2 Y + Y =\frac{1}{s^2 +1} }\)

\(\displaystyle{ Y(s^2 +1) = \frac{1}{s^2 +1} }\)

\(\displaystyle{ Y = \frac{1}{(s^2 +1)^2} }\)

Proszę znaleźć odwrotną transformatę rozkładając transformatę \(\displaystyle{ Y }\) na sumę dwóch ułamków prostych.

[Mariusz M]

@ janusz47

Jeśli rozkład na sumę ułamków prostych to nad zespolonymi bo nad rzeczywistymi się już nie da rozłożyć

Jeśli nie chcemy rozkładać nad zespolonymi to widzę dwa pomysły

1. Twierdzenie Borela czyli obliczenie splotu

\(\displaystyle{ \sin\left( t\right)*\sin\left( t\right)= \int_{0}^{t}\sin{\left( \tau\right)}\sin{\left( t-\tau\right) } \dd \tau }\)

2.
Zapisanie obrazu tak aby można było skorzystać s twierdzenia o różniczkowaniu obrazu

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ tf\left( t\right) \right\} =-\frac{ \dd }{ \dd s}F\left( s\right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd s} \frac{1}{s^2+1}=\frac{-2s}{\left( s^2+1\right)^2 } \\
\frac{ \dd }{ \dd s} \frac{s}{s^2+1}= \frac{1 \cdot \left( s^2+1\right)-2s \cdot s }{\left( s^2+1\right)^2}\\
\frac{ \dd }{ \dd s} \frac{s}{s^2+1}=-\frac{s^2-1}{\left( s^2+1\right)^2}\\
\mathcal{L}\left\{ t\cos{t}-\sin{t}\right\} =\frac{\left( s^2-1\right) -\left( s^2+1\right) }{\left( s^2+1\right)^2}\\
\mathcal{L}\left\{ -\frac{1}{2}\left(t\cos{t}-\sin{t} \right) \right\} = \frac{1}{\left( s^2+1\right)^2}\\
}\)

Na ogół więcej zabawy będzie z różniczkowaniem obrazu niż z liczeniem splotu