Metoda szeregów potęgowych

[jul1a]

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania: \(\displaystyle{ y"+ty'+y=0}\), mam użyć metody szeregów więc podstawiam i wychodzi:
\(\displaystyle{ 2a_2 + a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ((n+2)(n+1)a_{n+2} + na_n + a_n)t^n = 0}\) dalej przyrównując:
\(\displaystyle{ a_2 = \dfrac{-a_0}{2}}\) i \(\displaystyle{ a_{n+2}=\dfrac{-a_n}{n+2}}\) dalej nie mam pojęcia co zrobić W jaki sposób zwinąć to w szereg?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ y''+ty'+y=0\\
y= \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}t^n\\
y'= \sum_{n=0}^{ \infty } na_{n}t^{n-1}\\
y'= \sum_{n=1}^{ \infty } na_{n}t^{n-1}\\
y'= \sum_{n=0}^{ \infty } \left( n+1\right) a_{n+1}t^{n}\\
y''= \sum_{n=0}^{ \infty } n\left( n+1\right)a_{n+1}t^{n-1}\\
y''= \sum_{n=1}^{ \infty }n\left( n+1\right)a_{n+1}t^{n-1}\\
y''= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+1\right)\left( n+2\right)a_{n+2}t^{n}\\

\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+1\right)\left( n+2\right)a_{n+2}t^{n}+\sum_{n=0}^{ \infty } \left( n+1\right) a_{n+1}t^{n+1}+\sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}t^n=0\\
2a_{2}+\sum_{n=1}^{ \infty }\left( n+1\right)\left( n+2\right)a_{n+2}t^{n}+\sum_{n=0}^{ \infty } \left( n+1\right) a_{n+1}t^{n+1}+a_{0}+\sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}t^n=0\\
2a_{2}+a_{0}+\sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+2\right)\left( n+3\right)a_{n+3}t^{n+1}+\sum_{n=0}^{ \infty } \left( n+1\right) a_{n+1}t^{n+1}+a_{0}+\sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+1}t^{n+1}=0\\
2a_{2}+a_{0}+\sum_{n=0}^{ \infty }{\left[\left( n+2\right)\left( n+3\right)a_{n+3}+ \left( n+1\right) a_{n+1}+a_{n+1} \right]t^{n+1} }=0\\
2a_{2}+a_{0}+\sum_{n=0}^{ \infty }{\left[\left( n+2\right)\left( n+3\right)a_{n+3} +\left( n+2\right)a_{n+1} \right]t^{n+1} }\\
\begin{cases}a_{0}=a_{0}\\a_{1}=a_{1}\\a_{2}=-\frac{a_{0}}{2}\\a_{n+3}=-\frac{\left( n+2\right)a_{n+1}}{\left( n+2\right)\left( n+3\right)}\end{cases}\\
\begin{cases}a_{0}=a_{0}\\a_{1}=a_{1}\\a_{n+2}=-\frac{a_{n}}{n+2}\end{cases}\\
}\)

Teraz ja rozszerzyłbym tak ułamek aby po wymnożeniu otrzymać silnię

\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{0}=a_{0}\\a_{1}=a_{1}\\a_{n+2}=-\frac{\left( n+1\right) a_{n}}{\left(n+1 \right)\left(n+2 \right) }\end{cases}\\
}\)

W liczniku dążyłbym do uzyskania ilorazu funkcji \(\displaystyle{ \Gamma}\)

Jedna z całek szczególnych to

\(\displaystyle{ a_{2n}= \left( -2\right)^{n} \frac{\Gamma\left( \frac{3}{2}+n \right) }{\Gamma\left( \frac{3}{2} \right)\Gamma\left( 2n+2\right) }}\)

\(\displaystyle{ \Gamma}\) jest funkcją specjalną i większość użytkowników tego forum ignoruje ją
Może dlatego nikt ci nie chciał pomóc

Dodano po 45 minutach 58 sekundach:
Tak na upartego to można bez funkcji \(\displaystyle{ \Gamma}\) sobie poradzić
Trzeba tylko po rozdzieleniu wyrazów o indeksach parzystych i nieparzystych zauważyć że w liczniku
otrzymamy iloczyn liczb nieparzystych bądź parzystych i dalsza zabawa polega na tym aby tak
rozszerzać licznik i mianownik aby uzyskać funkcję wykładniczą oraz silnię