Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu tego równania różniczkowego: \(\displaystyle{ x-3y+2+(3x-y-2)y'=0}\) metodą macierzową? W rozwiązaniu powinno wyjść coś z logarytmem naturalnym.
Z góry bardzo dziękuję
Równania różniczkowe zwyczajne
-
Karolinaa0
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równania różniczkowe zwyczajne
\(\displaystyle{ x-3y+2+(3x-y-2)y'=0\\
y'= \frac{-x+3y-2}{3x-y-2}\\
x=u+ \alpha \\
y=v+ \beta \\
\frac{ \mbox{d} y }{\mbox{d} x } =\frac{ \mbox{d} v }{\mbox{d} u } \cdot \frac{\mbox{d} u}{\mbox{d} x}\\
\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} u}= \frac{-\left(u+ \alpha \right)+3\left( v+ \beta \right)-2 }{3\left(u+ \alpha \right)-\left( v+ \beta \right) -2 } \\
}\)
\(\displaystyle{
\begin{cases} - \alpha +3 \beta -2 = 0 \\ 3 \alpha - \beta -2=0 \end{cases} \\
\begin{cases} - \alpha +3 \beta = 2 \\ 3 \alpha - \beta =2 \end{cases} \\
\begin{cases} \alpha =1 \\ \beta = 1 \end{cases} \\
\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} u}= \frac{-u+3v}{3u-v} \\
}\)
Mamy równanie jednorodne które łatwo sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych
y'= \frac{-x+3y-2}{3x-y-2}\\
x=u+ \alpha \\
y=v+ \beta \\
\frac{ \mbox{d} y }{\mbox{d} x } =\frac{ \mbox{d} v }{\mbox{d} u } \cdot \frac{\mbox{d} u}{\mbox{d} x}\\
\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} u}= \frac{-\left(u+ \alpha \right)+3\left( v+ \beta \right)-2 }{3\left(u+ \alpha \right)-\left( v+ \beta \right) -2 } \\
}\)
\(\displaystyle{
\begin{cases} - \alpha +3 \beta -2 = 0 \\ 3 \alpha - \beta -2=0 \end{cases} \\
\begin{cases} - \alpha +3 \beta = 2 \\ 3 \alpha - \beta =2 \end{cases} \\
\begin{cases} \alpha =1 \\ \beta = 1 \end{cases} \\
\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d} u}= \frac{-u+3v}{3u-v} \\
}\)
Mamy równanie jednorodne które łatwo sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych