Twierdzenie Picarda

[jul1a]

Dla podanego niżej zagadnienia Cauchy’ego udowodnić, że rozwiązanie \(\displaystyle{ y = y(t)}\) istnieje na zadanym przedziale:
\(\displaystyle{ y'=t+y^2,\\
y(0)=0; t \in \left[ 0, \left( \dfrac{1}{2}\right) ^{2/3}\right] }\)
Najpierw liczę iterację Picarda:
\(\displaystyle{ y_0(t)=0}\)
\(\displaystyle{ y_1(t)=\dfrac{t^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ y_2(t)=\dfrac{1}{20}t^2(t^3 +10)}\)
\(\displaystyle{ y_3(t)=\dfrac{t^{11}}{4400} + \dfrac{t^8}{160} + \dfrac{t^5}{20} + \dfrac{t^2}{2}}\)
więc \(\displaystyle{ y_n(t)=\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t^5}{20} + \dfrac{t^8}{160} + ... + \dfrac{t^{3n-1}}{?}}\) i tutaj nie potrafię złożyć tego we wzór i dowieść zbieżności ciągu \(\displaystyle{ y_n(t)}\) :/ Nawet jeśli znalazłabym wzór ogólny funkcji \(\displaystyle{ y(t)}\) to w jaki sposób dowieść, że rozwiązanie istnieje na podanym przedziale \(\displaystyle{ t \in \left[ 0, \left( \dfrac{1}{2}\right) ^{2/3}\right]}\) ?