Hej, mam takie równanie:
\(\displaystyle{ x\left( 1-e^y\right)-e^yy'=0 }\)
i nie wiem czy robię dobrze. Próbowałem tak:
\(\displaystyle{ y'=x\frac{1-e^y}{e^y}}\)
\(\displaystyle{ y'\frac{e^y}{1-e^y}=x}\) ponieważ \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=y'}\) to \(\displaystyle{ dy=y'dx}\) i całkuję obustronnie względem \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \int \frac{e^y}{1-e^y} y'dx = \int x dx }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{e^y}{1-e^y} dy = \int x dx}\)
i teraz - chyba dość oczywiste pytanie: po lewej stronie, całkując po \(\displaystyle{ y}\) to \(\displaystyle{ y}\) jest moją zmienną, tak? Tzn mogę potraktować licznik w taki sposób:
\(\displaystyle{ -\int \frac{-\left( 1-e^y\right)' }{1-e^y} dy =- \log \left| 1-e^y\right| + C_1 = \frac{x^2}{2}+C_2 }\)
Czyli: \(\displaystyle{ \log \left| 1-e^y\right| = -\frac{x^2}{2} + C_1-C_2}\) pozbywając się logarytmu:
\(\displaystyle{ \left| 1-e^y\right| = e^{-\frac{x^2}{2}}e^{C_1-C_2} }\), potraktuję \(\displaystyle{ e^{C_1-C_2}}\) jako stałą \(\displaystyle{ A}\) (mogę?)
\(\displaystyle{ 1-e^y=Ae^{-\frac{x^2}{2}}}\)
\(\displaystyle{ e^y=1-Ae^{-\frac{x^2}{2}}}\) czyli
\(\displaystyle{ y=\log\left( 1-Ae^{-\frac{x^2}{2}}\right) }\)
Czy ktoś może mi sprawdzić czy to rozwiązanie jest w porządku i odpowiedzieć na te dwa pytania, zadane w trakcie rozwiązania?
Dodano po 1 godzinie 16 minutach 18 sekundach:
Po przeliczeniu chyba się zgadza, więc, zgodnie z tym, co samemu mi się wydaję, odpowiedź na te oba pytania jest twierdząca.