Równania rózniczkowe czastkowe - metoda Fouriera2

[MAciekx13]

Witam mam pytanie dotyczące zadania:

Rozwiązując zagadnienie brzegowe początkowe:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{4}u }{ \partial x^{4}} +a^{2} \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial t^{2} }=0 \ }\)
\(\displaystyle{ u(0,x)= \frac{2 \pi }{l}x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,l)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial t}(0,x)=0 }\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,l)}\)
\(\displaystyle{ u(t,0)=\frac{ \partial u}{ \partial x}(t,0)=0,\ u(t,l)= \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x^{2}}(t,l) =0,\ t>0}\)

metodą Fouriera otrzymujemy do rozwiązania układ równań zwyczajnych ...

Potrafię dojść do rozwiązania zastanawiam się jednak czy tą metodę można zastosować dla tego równania czy funkcja \(\displaystyle{ u(0,x)= \frac{2 \pi }{l}x}\) nie powinna być \(\displaystyle{ u(0,x)= \sin\frac{2 \pi }{l}x}\) ? Proszę o podpowiedź

[janusz47]

Powinna być z sinusem.

[MAciekx13]

można prosić o wyjaśnienie dlaczego?

[janusz47]

Bo warunki brzegowe nie są liniowe.

[MAciekx13]

Podam pełną treść zadania

Rozwiązując zagadnienie brzegowe początkowe:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{4}u }{ \partial x^{4}} +a^{2} \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial t^{2} }=0 \ }\)
\(\displaystyle{ u(0,x)= \frac{2 \pi }{l}x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,l)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial t}(0,x)=0 }\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,l)}\)
\(\displaystyle{ u(t,0)=\frac{ \partial u}{ \partial x}(t,0)=0,\ u(t,l)= \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x^{2}}(t,l) =0,\ t>0}\)

metodą Fouriera otrzymujemy do rozwiązania układ równań zwyczajnych ...

A. metody nie da się zastosować do powyższego równania
B. \(\displaystyle{ X^{4} + \frac{ λ^{2} }{ a^{2} } X=0}\) z warunkami \(\displaystyle{ X(0)=X'(0)=0, X(l)=X'(l)=0}\) oraz \(\displaystyle{ T''+λ ^{2}T=0 }\)
C. \(\displaystyle{ X^{4} - λ^{4} X=0}\) z warunkami \(\displaystyle{ X(0)=X'(0)=0, X(l)=X''(l)=0}\) oraz \(\displaystyle{ T''+ \frac{λ ^{4}}{ a^{2} } T=0 }\)
D. \(\displaystyle{ X^{4} - λ^{4} X=0}\) z warunkami \(\displaystyle{ X(0)=0, X(l)=0}\) oraz \(\displaystyle{ T''+ \frac{λ ^{4}}{ a^{2} } T=0 }\)
E. Wymienione odpowiedzi są błędne.

Rozwiązując równanie i przyrównując obie strony do \(\displaystyle{ λ^{4}}\) wychodzi mi że odpowiedź C jest prawidłowa czy w tego typu zadaniu ma więc znaczenie czy funkcja jest z sinusem ?

[janusz47]

Dla poprawności sformułowania zagadnienia brzegowego początkowego i jego rozwiązania - ma znaczenie.

Dla rozwiązania testu - nie ma znaczenia

Jest to zagadnienie drgań pręta z zamocowanymi (sztywnymi) końcami.

Metoda Fouriera

Szukamy rozwiązania w postaci

\(\displaystyle{ u(x,t) = X(x)[A \sin(\omega t)+ B\cos(\omega t)] }\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ X^{(4)} - \omega^2 X = 0 }\)

Rozwiązanie ogólne równania

\(\displaystyle{ X(x) = C\cos(\sqrt{\omega}x ) + D\sin( \sqrt{\omega}x) + E \cosh(\sqrt{\omega}x) + F \sinh(\sqrt{\omega}x) }\)

stałe \(\displaystyle{ C, \ \ D, \ \ E, \ \ F }\) wyznaczamy z warunków początkowo-brzegowych.

Na podstawie postaci równania charakterystycznego

Odpowiedź C - masz rację

[MAciekx13]

Dziękuję za pomoc