Problemy z całkami

[azureswan]

Wiem, że jest już późno, ale jutro sesja, a ja wciąż mam problem z kilkoma całkami :/.

\(\displaystyle{ \int \frac{x\arccos x}{ \sqrt{ 1-x^2}} \dd x}\)

\(\displaystyle{ \int \arccos \sqrt{ \frac{x}{x+1} } }\)

[janusz47]

1. Metoda podstawienia \(\displaystyle{ y = \arccos(x) }\) i metoda przez części.

Wykorzystanie tożsamości \(\displaystyle{ \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}, \ \ \cos(\arccos(x)) = x.}\)


2.Metoda całkowania przez części

\(\displaystyle{ \int 1\cdot \arccos\left(\frac{x}{x+1}\right) dx = \int x'\cdot \arccos\left( \frac{x}{x+1}\right) dx =..}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int \frac{x\arccos x}{ \sqrt{ 1-x^2}} \dd x\\
}\)

Do obliczenia tej całki podstawienie nie jest potrzebne

\(\displaystyle{ =- \sqrt{1-x^2}\arccos{x} - \int{\left( -\sqrt{1-x^2}\right)\left( - \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \right) \dd x } \\
=- \sqrt{1-x^2}\arccos{x} - \int{ \dd x } \\
=- \sqrt{1-x^2}\arccos{x} - x + C\\
}\)




\(\displaystyle{ \int \arccos \sqrt{ \frac{x}{x+1} } }\)

W tej całce podstawienie może uprościć dalsze obliczenia

\(\displaystyle{ \int \arccos \sqrt{ \frac{x}{x+1} } \\
t^2= \frac{x}{x+1} \\
t^2= \frac{x+1-1}{x+1} \\
t^2=1- \frac{1}{x+1} \\
\frac{1}{x+1}=1-t^2\\
x+1=\frac{1}{1-t^2}\\
x=-1+\frac{1}{1-t^2}\\
x=\frac{t^2}{1-t^2}
\dd x =\frac{2t \cdot \left( 1-t^2\right)-t^2 \cdot \left( -2t\right) }{\left( 1-t^2\right)^2 } \dd t\\
\dd x =\frac{2t }{\left( 1-t^2\right)^2 } \dd t\\
\int{\frac{2t}{\left( 1-t^2\right)^2 } \cdot \arccos{t} \dd t}\\
}\)


Teraz przez części

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t^2}\arccos{t}- \int{ \frac{1}{\left( 1-t^2\right) } \cdot \left( - \frac{1}{ \sqrt{1-t^2} } \right) \dd t } \\
=\frac{1}{1-t^2}\arccos{t}+ \int{\frac{1}{\left( 1-t^2\right) \sqrt{1-t^2} } \dd t} \\
}\)

\(\displaystyle{
\int{\frac{1}{\left( 1-t^2\right) \sqrt{1-t^2} } \dd t}\\
\sqrt{1-t^2}=\left( 1-t\right)u\\
1-t^2= \left( 1-t\right)^2u^2\\
\left( 1-t\right)\left( 1+t\right) =\left( 1-t\right)^2u^2\\
1+t=\left( 1-t\right)u^2\\
1+t=u^2-u^2t\\
t+u^2t=u^2-1\\
t\left( u^2+1\right) =u^2-1\\
t= \frac{u^2-1}{u^2+1} \\
\dd t = \frac{2u\left( u^2+1\right)-2u\left( u^2-1\right) }{\left( u^2+1\right)^2 } \dd u\\
\dd t = \frac{4u}{\left( u^2+1\right)^2 } \dd u\\
\sqrt{1-t^2} =\left( 1-\frac{u^2-1}{u^2+1} \right) u\\
\sqrt{1-t^2} =\frac{2u}{u^2+1}\\
\int{\frac{\left( u^2+1\right)^{3} }{8u^{3}} \cdot \frac{4u}{\left( u^2+1\right)^2 } \dd u }=
\frac{1}{2}\int{ \frac{u^2+1}{u^2} \dd u}\\
=\frac{1}{2}\left( u- \frac{1}{u} \right)+C\\
= \frac{u^2-1}{2u}+C\\
=\frac{u^2-1}{u^2+1} \cdot \frac{u^2+1}{2u} +C\\
= \frac{t}{ \sqrt{1-t^2} } +C\\
=\frac{1}{1-t^2}\arccos{t}+\frac{t}{ \sqrt{1-t^2} }+C\\
}\)


Można by od razu przez części ale wtedy dobrze by było odpowiednio dobrać stałą podczas całkowania przez części

\(\displaystyle{ \int 1\cdot \arccos\left(\frac{x}{x+1}\right) dx = \int x'\cdot \arccos\left( \frac{x}{x+1}\right) dx =..}\)

Chyba raczej

\(\displaystyle{ \int 1\cdot \arccos\left(\frac{x}{x+1}\right) dx = \int \left( x+1\right)' \cdot \arccos\left( \frac{x}{x+1}\right) dx =..}\)

inaczej funkcja podcałkowa się nie skróci
a poza tym zgubiłeś pierwiastek

[janusz47]

Nie rozwinąłem jeszcze wzoru na całkowanie przez części. Ponadto podstawienie swoje też uważam za właściwe.