Niech \(\displaystyle{ n\in\NN}\) oraz dana jest funkcja \(\displaystyle{ W:\RR^n\rightarrow\RR^n}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ i\in\{1,\ldots,n\}}\) funkcja \(\displaystyle{ W_i}\) jest wielomianem ( \(\displaystyle{ n}\) zmiennych). Ponadto \(\displaystyle{ t_0\in\RR, x^0\in\RR^n}\). Jak pokazać, że istnieje funkcja \(\displaystyle{ x:\RR\rightarrow\RR^n}\) różniczkowalna i taka, że
\(\displaystyle{ \begin{cases}x'(t)=W(x(t)) & \textrm{ dla } t\in\RR \\ x(t_0)=x^0\end{cases}}\)
Krótko mówiąc chodzi o wykazanie istnienia globalnego rozwiązania zadania Cauchy'ego. Wiem, że mogę zastosować tutaj twierdzenie Peana, a nawet Picarda, gdyż funkcja \(\displaystyle{ W}\) spełnia warunek Lipschitza na dowolnym zbiorze ograniczonym, ale te twierdzenia dają mi tylko rozwiązanie lokalne.
