Dziedzina równania różniczkowego

[Przybyl]

Dobry. Czy mógłby ktoś sprawdzić mi czy poprawnie rozwiązałem równanie różniczkowe ? Głównie nie jestem pewien co do określania dziedziny
\(\displaystyle{ x'(t)=x(1-x) \\
\int\frac{dx}{x(1-x)}=\int dt, x\neq0, x\neq1}\)
Liczę całkę z rozkładu na czynniki i otrzymuję
\(\displaystyle{ \ln\left|\frac{x}{x-1}\right|=t+C, C:=\ln C_1, C_1>0 \\}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{x}{x-1}\right|=C_1e^2, C_2\in \mathbb{R} - \{0\} \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1}=C_2e^t \\}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{C_2e^t-1}+1}\)
Mam rozwiązać zagadnienie początkowe
\(\displaystyle{ x(0)=-1}\)
zatem
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{0.5e^t-1}+1}\)
Licząc pochodną wychodzi dobrze, jednak zastanawiam się nad drugą linijką. Określiłem tam dziedzine, jednak czy nie powinienem zrobić tego w pierwszej ? Wstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) równanie będzie się zgadzało, jednak mając już całkę x musi być różne od 0 i 1. Również nie jestem pewien czy \(\displaystyle{ C_2}\) jest dobrze określone