- 1. Pewien związek chemiczny rozpada się tak, że szybkość rozpadu jest proporcjonalna do pozostającej jeszcze ilości związku w potędze \(\displaystyle{ \alpha > 0}\). Napisać równanie różniczkowe i zdecydować, dla jakich \(\displaystyle{ \alpha}\) związek całkowicie zaniknie w skończonym czasie.
- 2. Liczba bakterii w zainfekowanym organizmie wyraża się w przybliżeniu ciągłą funkcją \(\displaystyle{ x(t)}\). Bakterie namnażają się w stosunku r, ale jednocześnie giną na skutek odpowiedzi odpornościowej organizmu proporcjonalnej do liczby bakterii i czasu od rozpoczęcia infekcji. Zatem
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=rx-cxt}\),zakładając, że infekcja rozpoczęła się w czasie \(\displaystyle{ t=0}\) z początkową wartością \(\displaystyle{ x(0)=1}\). Znaleźć maksymalną wartość \(\displaystyle{ x}\) w trakcie infekcji.
- 3. Dla obiektu spadającego w powietrzu prędkość opisana jest równaniem różniczkowym \(\displaystyle{ \frac{dv}{dt}=9.8-k_0v^2}\). Rozwiązać zagadnienie początkowe dla \(\displaystyle{ v(0) = 0}\) i znaleźć \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}v(t)}\).
Ukryta treść:
Ponownie treść zadania:
Ukryta treść:
Pewien związek chemiczny rozpada się tak, że szybkość rozpadu jest proporcjonalna do pozostającej jeszcze ilości związku w potędze \(\displaystyle{ \alpha > 0}\). Napisać równanie różniczkowe i zdecydować, dla jakich \(\displaystyle{ \alpha}\) związek całkowicie zaniknie w skończonym czasie\(\displaystyle{ (0)}\).
\(\displaystyle{ t}\) - czas, zakładamy rozpoczęcie jego biegu w "chwili \(\displaystyle{ 0}\)", \(\displaystyle{ t\in[0,\infty)}\)
\(\displaystyle{ x(t)}\) - ilość związku (nie może być ujemna), \(\displaystyle{ x: [0,\infty) \rightarrow [0,\infty)}\)
W treści zadania nie ma wprost podanego warunku początkowego, ale będzie on potrzebny.
Niech \(\displaystyle{ x(0) = M_0}\), gdzie \(\displaystyle{ M_0\in(0,\infty)}\) to początkowa ilość związku.
Szybkość rozpadu to zmiana w czasie (\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}}\)) ilości związku, która się rozpadła (\(\displaystyle{ M_0-x}\)).
Na podstawie powyższych ustaleń, szukane równanie to:
\(\displaystyle{ \frac{d(M_0-x)}{dt}\propto x^\alpha}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{d(M_0-x)}{dt}=cx^\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in(0,\infty)}\) to współczynnik proporcjonalności.
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
Rozpad związku w skończonym czasie oznacza, że funkcja będąca rozwiązaniem zagadnienia \begin{cases} (\star)\frac{d(M_0-x)}{dt}=cx^\alpha \\ x(0)=M_0\end{cases} osiąga dla pewnego \(\displaystyle{ t\in(0,\infty)}\) wartość \(\displaystyle{ 0}\).
Rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ (\star)}\).
Dla przejrzystości obliczeń od razu rozważmy 2 przypadki.
- Niech \(\displaystyle{ \alpha = 1}\).
\(\displaystyle{ \frac{d(M_0-x)}{dt}=cx^1 \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ 0-\frac{dx}{dt}=cx \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-cx \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{x}=-c\cdot dt}\), \(\displaystyle{ x\neq0 \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{dx}{x}=-c \int_{}^{}dt \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \ln{x}=-c(t+C)}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x=e^{-ct-cC} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x=e^{-ct}e^{-cC} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x=Ce^{-ct}}\), \(\displaystyle{ C\in(0,\infty)}\)
Zauważmy, że wykluczone \(\displaystyle{ x=0}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ (\star)}\), ale nie spełnia warunku początkowego \(\displaystyle{ x(0) = M_0}\).
Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (\star)}\) przy \(\displaystyle{ \alpha=1}\). Nie musimy jednak wyznaczać stałej C, już teraz możemy podać odpowiedź na \(\displaystyle{ (0)}\) dla tego przypadku.
Skoro \(\displaystyle{ C\in(0,\infty)}\) oraz \(\displaystyle{ e^{-ct}\in(0,\infty)}\) jako funkcja wykładnicza, to \(\displaystyle{ x=Ce^{-ct}\neq0}\).
A więc dla \(\displaystyle{ \alpha=1}\) związek nie rozpada się w skończonym czasie.
- Niech \(\displaystyle{ \alpha\neq1}\).
\(\displaystyle{ x= \sqrt[1-\alpha]{(1-\alpha)(C-ct)}}\)Ukryta treść:\(\displaystyle{ \frac{d(M_0-x)}{dt}=cx^\alpha \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ 0-\frac{dx}{dt}=cx^\alpha \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-cx^\alpha \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{x^\alpha}=-c\cdot dt \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{dx}{x^\alpha}=-c \int_{}^{}dt \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{}x^{-\alpha} \cdot dx=-c \int_{}^{}dt \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\alpha}x^{1-\alpha}=-c(t+C)}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x^{1-\alpha}=(1-\alpha)(C-ct) \Leftrightarrow}\)
Wyznaczamy \(\displaystyle{ C}\):Po podstawieniu:Ukryta treść:\(\displaystyle{ x(0) = M_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \sqrt[1-\alpha]{(1-\alpha)C}=M_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (1-\alpha)C=M_0^{1-\alpha} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ C=\frac{1}{(1-\alpha)}M_0^{1-\alpha}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[1-\alpha]{(1-\alpha)(\frac{M_0^{1-\alpha}}{1-\alpha}-ct)}}\)
- Weźmy \(\displaystyle{ \alpha<1}\)
Jako, że \(\displaystyle{ (1-\alpha)\in(0,1)}\), to \(\displaystyle{ (\frac{1}{1-\alpha})\in(1,\infty)}\), więc przy założonym \(\displaystyle{ \alpha}\) równość \(\displaystyle{ x=0 \Leftrightarrow [(1-\alpha)(\frac{M_0^{1-\alpha}}{1-\alpha}-ct)]^{\frac{1}{1-\alpha}}=0}\) jest spełniona tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \frac{M_0^{1-\alpha}}{1-\alpha}-ct=0}\).
Przekształcając:
\(\displaystyle{ \frac{M_0^{1-\alpha}}{1-\alpha}-ct=0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ t=\frac{M_0^{1-\alpha}}{c(1-\alpha)}}\)
Jako, że \(\displaystyle{ (1-\alpha)\in(0,1) \wedge M_0>0 \Rightarrow M_0^{1-\alpha}>0}\) oraz \(\displaystyle{ (1-\alpha)\in(0,1) \wedge c>0 \Rightarrow c(1-\alpha)>0}\), to prawdą jest \(\displaystyle{ \frac{M_0^{1-\alpha}}{c(1-\alpha)}>0}\), a więc otrzymane \(\displaystyle{ t=\frac{M_0^{1-\alpha}}{c(1-\alpha)}>0}\).
Dla \(\displaystyle{ 0<\alpha<1}\) związek rozpada się w skończonym czasie.
- Weźmy \(\displaystyle{ \alpha>1}\)
Jako, że \(\displaystyle{ (1-\alpha)\in(-\infty,0) \Rightarrow \frac{1}{(1-\alpha)}\in(-\infty,0) \Rightarrow \frac{1}{(\alpha-1)}\in(0,\infty)}\), to \(\displaystyle{ x(t)=\sqrt[1-\alpha]{(1-\alpha)(\frac{M_0^{1-\alpha}}{1-\alpha}-ct)} \Leftrightarrow x(t)=\frac{1}{[(1-\alpha)(\frac{M_0^{1-\alpha}}{1-\alpha}-ct)]^{\frac{1}{(\alpha-1)}}}\neq0}\) jako funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R}}\) postaci \(\displaystyle{ f(a)=\frac{1}{a^b}}\), gdzie \(\displaystyle{ b>0}\).
A więc dla \(\displaystyle{ \alpha>1}\) związek nie rozpada się w skończonym czasie.
- Weźmy \(\displaystyle{ \alpha<1}\)
Ukryta treść:
Ponownie treść zadania:
Ukryta treść:
Liczba bakterii w zainfekowanym organizmie wyraża się w przybliżeniu ciągłą funkcją \(\displaystyle{ x(t)}\). Bakterie namnażają się w stosunku r, ale jednocześnie giną na skutek odpowiedzi odpornościowej organizmu proporcjonalnej do liczby bakterii i czasu od rozpoczęcia infekcji. Zatem
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=rx-cxt}\),
zakładając, że infekcja rozpoczęła się w czasie \(\displaystyle{ t=0}\) z początkową wartością \(\displaystyle{ x(0)=1}\). Znaleźć maksymalną wartość \(\displaystyle{ x}\) w trakcie infekcji. \(\displaystyle{ (0)}\)
\(\displaystyle{ t}\) - czas, zakładamy rozpoczęcie jego biegu w "chwili \(\displaystyle{ 0}\)", \(\displaystyle{ t\in[0,\infty)}\)
\(\displaystyle{ x(t)}\) - liczba bakterii (nie może być ujemna), \(\displaystyle{ x: [0,\infty) \rightarrow [0,\infty)}\)
Należy rozwiązać dane już zagadnienie początkowe, potem znaleźć wartość maksymalną dla znalezionej funkcji.
\begin{cases} (\star) \frac{dx}{dt}=rx-cxt\\ x(0)=1\end{cases}
\(\displaystyle{ (\star)}\) to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.
Znajdujemy rozwiązanie ogólne \(\displaystyle{ (\star)}\):
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=rx-cxt \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=x(r-ct) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{x}=(r-ct) \cdot dt}\), \(\displaystyle{ x\neq0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x}= \int_{}^{} (r-ct) \cdot dt \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \ln{x}=rt-\frac{c}{2}t^2+C}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ x=e^{rt-\frac{c}{2}t^2+C} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=x(r-ct) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{x}=(r-ct) \cdot dt}\), \(\displaystyle{ x\neq0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x}= \int_{}^{} (r-ct) \cdot dt \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \ln{x}=rt-\frac{c}{2}t^2+C}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ x=e^{rt-\frac{c}{2}t^2+C} \Leftrightarrow }\)
Obliczamy \(\displaystyle{ C}\) z warunku początkowego \(\displaystyle{ x(0)=1}\):
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ x(0)=1 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ Ce^{0+0}=1 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ C=1}\)
\(\displaystyle{ Ce^{0+0}=1 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ C=1}\)
A więc rozwiązanie zagadnienia początkowego to \(\displaystyle{ x=e^{rt-\frac{c}{2}t^2}}\).
Wykonaliśmy połowę zadania. Teraz wystarczy znaleźć wartość maksymalną \(\displaystyle{ x(t)}\).
- Badamy wartości na krańcach dziedziny \(\displaystyle{ x(t)}\):
Z warunku początkowego wiemy, że x(0) = 1. \(\displaystyle{ (1)}\)
Natomiast \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}x(t) = \lim_{t \to \infty}e^{rt-\frac{c}{2}t^2} = \lim_{t \to \infty}e^{t^2(\frac{r}{t}-\frac{c}{2})} = [e^{\infty(0-\frac{c}{2})}] = [e^{-\infty}] = 0}\). \(\displaystyle{ (2)}\)
- Badamy ekstrema \(\displaystyle{ x(t)}\):
\(\displaystyle{ x^{'}(t)=(r-ct)e^{rt-\frac{c}{2}t^2}}\)
\(\displaystyle{ x^{'}(t)=-ce^{rt-\frac{c}{2}t^2}+(r-ct)^2e^{rt-\frac{c}{2}t^2}}\)
Badamy istnienie ekstremów:Badamy rodzaj ekstremum w \(\displaystyle{ t=\frac{r}{c}}\):Ukryta treść:\(\displaystyle{ x^{'}(t)=0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (r-ct)e^{rt-\frac{c}{2}t^2}=0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ r-ct=0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ t=\frac{r}{c}}\)A więc \(\displaystyle{ x(t)}\) ma jedno ekstremum, maksimum, dla \(\displaystyle{ t=\frac{r}{c}}\), równe:Ukryta treść:\(\displaystyle{ x^{''}(\frac{r}{c})=-ce^{\frac{1}{c}r^2-\frac{1}{2c}r^2}+0 \cdot e^{\frac{1}{c}r^2-\frac{1}{2c}r^2} = -ce^{\frac{1}{2c}r^2}}\)
Przy czym \(\displaystyle{ -c<0}\) oraz \(\displaystyle{ e^{\frac{1}{2c}r^2}>0}\), więc \(\displaystyle{ x^{''}(\frac{r}{c})<0}\).
\(\displaystyle{ x(\frac{r}{c})=e^{\frac{1}{c}r^2-\frac{1}{2c}r^2}=e^{\frac{1}{2c}r^2} (3)}\)
Jako, że \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ r}\) są dowolnymi liczbami z przedziału \(\displaystyle{ (0,\infty)}\), nie możemy jednoznacznie określić, czy \(\displaystyle{ e^{\frac{1}{2c}r^2}>1}\).
Na mocy \(\displaystyle{ (1)}\), \(\displaystyle{ (2)}\) i \(\displaystyle{ (3)}\), maksymalna wartość \(\displaystyle{ x}\) w trakcie infekcji to \(\displaystyle{ \max{(1,e^{\frac{1}{2c}r^2})}}\).
Ukryta treść:
Ponownie treść zadania:
Ukryta treść:
Dla obiektu spadającego w powietrzu prędkość opisana jest równaniem różniczkowym \(\displaystyle{ \frac{dv}{dt}=9.8-k_0v^2}\). Rozwiązać zagadnienie początkowe dla \(\displaystyle{ v(0) = 0}\) i znaleźć \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}v(t)}\).
\(\displaystyle{ t}\) - czas, zakładamy rozpoczęcie jego biegu w "chwili \(\displaystyle{ 0}\)", \(\displaystyle{ t\in[0,\infty)}\)
\(\displaystyle{ v(t)}\) - prędkość spadającego obiektu (załóżmy, że ujemna wartość oznacza poruszanie się w górę z prędkością \(\displaystyle{ |v|}\)), \(\displaystyle{ v: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}}\)
Zagadnienie początkowe:
\begin{cases} (\star)\frac{dv}{dt}=g-k_0v^2\\ v(0) = 0\end{cases}, gdzie \(\displaystyle{ g=9.8}\).
Rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ (\star)}\).
Jest to równanie Riccatiego. Stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ v=v_s+\frac{1}{u}}\), gdzie \(\displaystyle{ v_s}\) jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym \(\displaystyle{ (\star)}\). Potem rozwiązujemy nowo powstałe równanie znanymi metodami. Na koniec wracamy do starej zmiennej \(\displaystyle{ v}\) i wyznaczamy stałą w rozwiązaniu ogólnym z warunku początkowego.
Zgadujemy rozwiązanie szczególne \(\displaystyle{ (\star)}\).
Po postaci równania \(\displaystyle{ (\star)}\) widać, że prawdopodobnie istnieje rozwiązanie szczególne będące funkcją stałą (a więc jej pochodna jest równa \(\displaystyle{ 0}\)), która po podstawieniu do \(\displaystyle{ v}\) skraca prawą stronę równania.
Niech \(\displaystyle{ v_s=\sqrt{\frac{g}{k_0}}}\).
Sprawdzenie, czy wybrana funkcja rzeczywiście jest rozwiązaniem szczególnym:
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ (v_s)^{'}=g-k_0v_s^2 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{\frac{g}{k_0}})^{'}=g-k_0 \cdot \frac{g}{k_0} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 0=g-g \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 0=0}\) \(\displaystyle{ \square}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{\frac{g}{k_0}})^{'}=g-k_0 \cdot \frac{g}{k_0} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 0=g-g \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ 0=0}\) \(\displaystyle{ \square}\)
Niech \(\displaystyle{ v=\sqrt{\frac{g}{k_0}}+\frac{1}{u}}\), gdzie \(\displaystyle{ u\neq0}\) \(\displaystyle{ (1)}\).
Podstawiamy powyższe \(\displaystyle{ v}\) do równania \(\displaystyle{ (\star)}\):
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ (\sqrt{\frac{g}{k_0}}+\frac{1}{u})^{'}=g-k_0(\sqrt{\frac{g}{k_0}}+\frac{1}{u})^2 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{u^2})u^{'}=g-k_0(\frac{g}{k_0}+2\sqrt{\frac{g}{k_0u}}+\frac{1}{u^2}) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ -u^{'}=gu^2-k_0\frac{g}{k_0}u^2-2k_0\sqrt{\frac{g}{k_0u}}u-k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u^{'}=(k_0\frac{g}{k_0}-g)u^2+2k_0\sqrt{\frac{g}{k_0}}u+k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u^{'}=(g-g)u^2+2k_0\sqrt{\frac{g}{k_0}}u+k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u^{'}=2k_0\sqrt{\frac{g}{k_0}}u+k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{u^2})u^{'}=g-k_0(\frac{g}{k_0}+2\sqrt{\frac{g}{k_0u}}+\frac{1}{u^2}) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ -u^{'}=gu^2-k_0\frac{g}{k_0}u^2-2k_0\sqrt{\frac{g}{k_0u}}u-k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u^{'}=(k_0\frac{g}{k_0}-g)u^2+2k_0\sqrt{\frac{g}{k_0}}u+k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u^{'}=(g-g)u^2+2k_0\sqrt{\frac{g}{k_0}}u+k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u^{'}=2k_0\sqrt{\frac{g}{k_0}}u+k_0 \Leftrightarrow }\)
Jest to równanie liniowe niejednorodne.
- Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ u=Ce^{2k_0v_st}}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in(0,\infty)}\)Ukryta treść:\(\displaystyle{ u^{'}-2k_0v_su=0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u^{'}=2k_0v_su \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dt}=2k_0v_su \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{u}=2k_0v_su \cdot dt (1) \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{u}=2k_0v_s \cdot \int_{}^{}dt \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \ln{u}=2k_0v_s(t+C)}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u=e^{2k_0v_st+2k_0v_sC} \Leftrightarrow }\)
- Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego metodą uzmienniania stałych:
\(\displaystyle{ u=C(t) \cdot e^{2k_0v_st} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ u^{'}=C^{'}(t) \cdot e^{2k_0v_st}+C(t) \cdot 2k_0v_s \cdot e^{2k_0v_s}}\)
Wstawiamy otrzymane rozwiązanie do równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ u^{'}=2k_0v_su+k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ C^{'}(t) \cdot e^{2k_0v_st}+C(t) \cdot 2k_0v_s \cdot e^{2k_0v_s}=2k_0v_sC(t) \cdot e^{2k_0v_st}+k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ C^{'}(t) \cdot e^{2k_0v_st}=k_0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} C^{'}(t) dt= \int_{}^{} k_0e^{-2k_0v_st} dt \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ C(t)=k_0\frac{1}{-2k_0v_s}e^{-2k_0v_st}+C_1}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1\in\mathbb{R} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ C(t)=\frac{1}{-2v_s}e^{-2k_0v_st}+C_1}\)
Wstawiamy otrzymane \(\displaystyle{ C(t)}\) do rozwiązania ogólnego równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ u=(\frac{1}{-2v_s}e^{-2k_0v_st}+C_1)e^{2k_0v_st} = \frac{1}{-2v_s}+C_1e^{2k_0v_st}}\)
A więc rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (\star)}\):
\(\displaystyle{ v=v_s+\frac{1}{\frac{1}{-2v_s}+C_1e^{2k_0v_st}}}\)
Obliczamy stałą \(\displaystyle{ C_1}\) z warunku początkowego:
\(\displaystyle{ v(0)=0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ v_s+\frac{1}{\frac{1}{-2v_s}+C_1}=0 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ -v_s=\frac{1}{\frac{1}{-2v_s}+C_1} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ -v_s(\frac{1}{-2v_s}+C_1)=1 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}-v_sC_1=1 \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ C_1=\frac{1}{-2v_s} \Leftrightarrow }\)
\(\displaystyle{ v(t)=v_s+(\frac{1}{-2v_s}(e^{2k_0v_st}+1))^{-1}=\sqrt{\frac{g}{k_0}}+(\frac{1}{-2}\sqrt{\frac{k_0}{g}}(\exp{(2k_0v_st)}+1))^{-1}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}v(t)=\lim_{t \to \infty}v_s+(\frac{1}{-2v_s}(e^{2k_0v_st}+1))^{-1}=[v_s+\frac{1}{\infty}]=\sqrt{\frac{g}{k_0}}}\).