zbieżność całki niewłaściwa: granice przy porównaniu f. podcałkowej z 1/x

[shreder221]

Dzień dobry.
Nasz wykładowca pokazywał nam metodę zbieżności całek niewłaściwych poprzez porównanie prędkości ich wzrostu do \(\displaystyle{ \frac {1}{x}}\).

I pierwszym krokiem do tego było policzenie granicy z funkcji podcałkowej na granicach całki.
Pod koniec zajęć zapytałem się po co nam to? i usłyszałem że jeśli wyjdzie nam coś innego niż 0 to całka jest rozbieżna. Przyjąłem to ale teraz podczas przeglądania notatek zauważyłem że w niektórych wcześniejszych całkach zbieżnych te granice były 1 czy \(\displaystyle{ \inf}\) (o czym niestety zapomniałem na zajęciach )


Choćby pierwszy przerabiany dziś przykład
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{2x}{(x^{2}-1)^{2/3}} \dd x =....=3 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{2x}{(x^{2}-1)^{2/3}} =0}\) OK
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1 } \frac{2x}{(x^{2}-1)^{2/3}} = \infty}\)
całka zbieżna a funkcja dążąca do nieskończoności


Moglibyście mi wytłumaczyć po co to jest? I co oznaczają poszczególne przypadki?

PS
Niewiarygodne w google nie widzę takiego kryterium o_O

Dodano po 1 dniu 14 godzinach 45 minutach 17 sekundach:
ktoś coś?

Dodano po 1 minucie 50 sekundach:
ktoś coś?

Dodano po 2 dniach 9 godzinach 25 minutach 26 sekundach:
Może jednak ktoś się znajdzie?

[Premislav]

Pod koniec zajęć zapytałem się po co nam to? i usłyszałem że jeśli wyjdzie nam coś innego niż 0 to całka jest rozbieżna

Widocznie coś nie do końca zrozumiałeś lub prowadzący się pomylił, gdyż jest to w oczywisty sposób nieprawda, co pokazuje choćby podany przez Ciebie przykład (dużo prostszym, choć podobnym, jest \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{x}}=2}\)).

A to porównanie z \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) na pewno pojawiło się w Fichtenholzu, choć jest to rzecz intuicyjnie oczywista i niezbyt trudna w dowodzie. Jest to analogon szacowań (wystarczają działające od pewnego miejsca) wyrazów szeregów przez wyrazy szeregu harmonicznego odpowiedniego rzędu.
Ogólniej:
Grigorij Michajłowicz Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom II, rozdział XIII, paragraf 1. (Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych), twierdzenie 2. (domyślnie \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są nieujemne, choć dla stale niedodatnich też działa po chwili refleksji):
Jeżeli istnieje granica
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K \ (0\le K\le +\infty) }\),
to ze zbieżności całki \(\displaystyle{ \int_{a}^{\infty}g(x)\mbox{d}x}\) dla \(\displaystyle{ K<+\infty}\) wynika zbieżność całki \(\displaystyle{ \int_{a}^{\infty}f(x)\mbox{d}x}\), a z rozbieżności pierwszej całki dla \(\displaystyle{ K>0}\) wynika rozbieżność drugie
(a więc dla \(\displaystyle{ 0<K<\infty}\) obie całki są zbieżne lub rozbieżne jednocześnie).


Po chwili refleksji twierdzenie to (na drodze zamiany zmiennych) przenosi się też na całki niewłaściwe innego rodzaju, tj. np.
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)\mbox{d}x}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest nieujemna, a jeszcze lepiej dodatnia na \(\displaystyle{ (a,b)}\) i
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a_{+}}f(x)=+\infty}\) bądź \(\displaystyle{ \lim_{x\to b^{-}}f(x)=+\infty}\).

Dodano po 1 minucie 34 sekundach:
NB ja mam wydanie szóste z roku 1976, możliwe, że w następnych edycjach podana numeracja się nie zgadza, ale myślę, że nie jest to bardzo istotne.

[shreder221]

A to porównanie z \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) na pewno pojawiło się w Fichtenholzu, choć jest to rzecz intuicyjnie oczywista i niezbyt trudna w dowodzie. Jest to analogon szacowań (wystarczają działające od pewnego miejsca) wyrazów szeregów przez wyrazy szeregu harmonicznego odpowiedniego rzędu.

Po prawdzie to jedyny sposób poza obliczeniem całki który mieliśmy na ćwiczeniach :p

Pod koniec zajęć zapytałem się po co nam to? i usłyszałem że jeśli wyjdzie nam coś innego niż 0 to całka jest rozbieżna

Widocznie coś nie do końca zrozumiałeś lub prowadzący się pomylił, gdyż jest to w oczywisty sposób nieprawda, co pokazuje choćby podany przez Ciebie przykład

A masz może jakiś pomysł po co nam to wcześniejsze liczenie granic? Co takiego można z wyglądu granic funkcji podcałkowej uzyskać?

[Premislav]

A masz może jakiś pomysł po co nam to wcześniejsze liczenie granic? Co takiego można z wyglądu granic funkcji podcałkowej uzyskać?

Tak. Jeśli te granice wyjdą skończone, a ponadto funkcja podcałkowa jest ciągła (dla funkcji elementarnych i wyników skończonych operacji na nich często uznaje się to za rzecz oczywistą) i ograniczona w każdym domkniętym i ograniczonym podzbiorze rozważanego przedziału, to całka jest zbieżna. Jeśli nie wyjdą skończone, to znak, że niechybnie trzeba zakasać rękawy (choć oczywiście wciąż całka może być zbieżna).