równania różniczkowe - jednoznaczność zagadnienia początkowego

[kaska1399]

Cześć, mam problem z następującym zadaniem.
Zbadać istnienie i jednoznaczność następującego zagadnienia początkowego:
$$ \begin{cases} y' = \sqrt[3]{|y - 1|} \\ y(0) = 1. \end{cases}$$
Będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc, bo nie wiem jak się do tego zabrać.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{cases} y' = \sqrt[3]{|y-1|} \\ y(0) = 1 \end{cases} }\)

Sprawdzamy jednoznaczność rozwiązania dla punktu \(\displaystyle{ (0, 1) }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ \frac{dy}{\sqrt[3]{|y-1|}} = dt }\)

Całkujemy obustronnie

\(\displaystyle{ \int_{1}^{y}\frac{dx}{\sqrt[3]{|x-1|}} = \int_{0}^{t}dt }\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{y}|x-1|^{-\frac{1}{3}} dx = \int_{0}^{t} dt }\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{y} |x-1|^{-\frac{1}{3}} dx = t \ \ (1) }\)

Obliczamy całkę występującą po lewej stronie równości \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{y}|x -1|^{-\frac{1}{3}} dx = -\frac{3}{4} (1- x)^{\frac{2}{3}} sgn[(1 - x) -1] + \\ -\frac{3}{4}(1- x)^{\frac{2}{3}} sgn[(1- x) +1] |_{1}^{y} = -\frac{3}{4} (1- y)^{\frac{2}{3}} sgn[(1 - y) -1] -\frac{3}{4}(1- y)^{\frac{2}{3}} sgn[(1- y) +1] \ \ (2) }\)

Z równań \(\displaystyle{ (2), (1) }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ \mbox{dla} \ \ 1\leq y < 2 \\ \frac{3}{4}\sqrt[3]{(1 -y)^2} = t \ \ \mbox{dla} \ \ y =2 \\ \frac{3}{2}\sqrt[3]{(y-1)^2} = t \ \ \mbox{dla} \ \ y >2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ y(t) = 1 - \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{2}} }\) lub \(\displaystyle{ y(t) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{2}} }\)

Stąd wynika, że równanie nie ma rozwiązań jednoznacznych.

Funkcja \(\displaystyle{ f(t,y) = \sqrt[3]{|y-1|} }\) jest funkcją ciągłą w każdym punkcie obszaru \(\displaystyle{ \mathcal{D} = \RR^2. }\)

Pochodna funkcji \(\displaystyle{ f }\) względem drugiej zmiennej

\(\displaystyle{ f'_{|y}(t,y) = \frac{y-1}{3|y-1|^{\frac{5}{3}}} }\) jest funkcją ciągłą w każdym punkcie obszaru leżącego powyżej lub poniżej prostej \(\displaystyle{ y = 1. }\) Nie istnieje na prostej \(\displaystyle{ y = 1. }\)

Możemy, więc wnioskować, że rozwiązania tego równania istnieją i są jednoznaczne pod warunkiem, że ograniczymy się do obszaru, gdzie \(\displaystyle{ y(t)>2 }\) lub \(\displaystyle{ y(t)= 2. }\)

[kaska1399]

Dziękuję za pomoc, ale mam kilka pytań do rozwiązania:
1. Czemu liczymy całki od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ y}\) oraz od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ t}\)?
2. Czy tam nie powinno być \(\displaystyle{ - \frac{3}{2}(1-x) ^{ \frac{2}{3} }}\) ?
3. Czemu właśnie w taki sposób używamy funkcji \(\displaystyle{ \text{sgn}}\) ?

[janusz47]

1. Granice całkowania z wartości początkowej równania. Można też obliczyć całkę nieoznaczoną i potem wyznaczyć stałą całkowania z warunków początkowych.

2.Nie bo to jest całka z wartości bezwzględnej.

3. Korzystamy z definicji funkcji signum i rozpatrujemy wszystkie możliwe przypadki jej wartości.

[kaska1399]

2.Nie bo to jest całka z wartości bezwzględnej.

Dalej nie rozumiem skąd się bierze mnożenie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Mógłbyś mi to wytłumaczyć w jeszcze prostszy sposób?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \int |x|dx = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 +C \ \ \mbox{gdy} \ \ x >0 \\ -\frac{1}{2}x^2 + C \ \ \mbox{gdy} \ \ x<0 \end{cases} = \frac{1}{2}x^2\cdot sign(x) + C .}\)

\(\displaystyle{ \int |x-1|dx = \begin{cases} \frac{1}{2}(x-1)^2 + C \ \ \mbox{gdy} \ \ x >1 \\ -\frac{1}{2}(x-1)^2 + C \ \ \mbox{gdy} \ \ x <1 \end{cases} = \frac{1}{2} (x-1)^2\cdot sign(x -1) +C. }\)

[kaska1399]

Dziękuje za pomoc