Równanie różniczkowe trzeciego rzędu

[monika1812]

Witam, bardzo prosiłabym o pomoc z tym zadaniem :
\(\displaystyle{ y'''+y''+y'+y=x^3+3x^2+6x+6}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ r^3+r^2+r+1=0\\
(r+1)(r+i)(r-i)=0\\
y_o=C_1e^{-x}+C_2\sin x+C_3\cos x}\)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego nie zawiera żadnego elementu części niejednorodnej więc przewidujesz całkę szczególną o postaci:
\(\displaystyle{ y_s=Ax^3+Bx^2+Cx+D}\)
Dalej pewnie już umiesz.

[monika1812]

\(\displaystyle{ r^3+r^2+r+1=0\\
(r+1)(r+i)(r-i)=0\\
y_o=C_1e^{-x}+C_2\sin x+C_3\cos x}\)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego nie zawiera żadnego elementu części niejednorodnej więc przewidujesz całkę szczególną o postaci:
\(\displaystyle{ y_s=Ax^3+Bx^2+Cx+D}\)
Dalej pewnie już umiesz.

Dalszy ciąg:
\(\displaystyle{ y_s' = 3Ax^2+2Bx+C}\)
\(\displaystyle{ y_s'' = 6Ax +2B}\)
\(\displaystyle{ y_s'''= 6A}\).
Podstawiamy do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ 6A+6Ax+2B+3Ax^2+2Bx+C+Ax^3+Bx^2+Cx+D=x^3+3x^2+6x+6.}\)
Po wyliczeniu ( mam nadzieje, że prawidłowym ):
\(\displaystyle{ A=1, B=0, C=0, D=0.}\)
Zatem RORLN:
\(\displaystyle{ C_1e^{-x}+C_2\sin x +C_3\cos x +x^3.}\)
Proszę o spojrzenie tylko, czy nie ma głupiego błędu, bo często mi się zdarzają Z góry dziękuję!

[kerajs]

\(\displaystyle{ C_1e^{-x}+C_2\sin x +C_3\cos x +x^3.}\)
Proszę o spojrzenie tylko, czy nie ma głupiego błędu, bo często mi się zdarzają Z góry dziękuję!

Zawsze sama możesz dokonać sprawdzenia:
\(\displaystyle{ y=C_1e^{-x}+C_2\sin x +C_3\cos x +x^3\\
y'=-C_1e^{-x}+C_2\cos x -C_3\sin x +3x^2\\
y''=C_1e^{-x}-C_2\sin x -C_3\cos x +6x\\
y'''=-C_1e^{-x}-C_2\cos x +C_3\sin x +6\\
L=y'''+y''+y'+y=(C_1e^{-x}+C_2\sin x +C_3\cos x +x^3)+(-C_1e^{-x}+C_2\cos x -C_3\sin x +3x^2)+\\+(C_1e^{-x}-C_2\sin x -C_3\cos x +6x)+(-C_1e^{-x}-C_2\cos x +C_3\sin x +6)=x^3+3x^2+6x+6=P}\)
czyli wynik jest prawidłowy.