Operator Laplacea i wektor

[azaks]

Zapisz działanie operatora Laplace'a na wektor \(\displaystyle{ d[u,v,w]}\). Określ typ wyniku (skalar, wektor, tensor). Zapisz wynik za pomocą notacji sumacyjnej Einsteina.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \nabla^2 \vec{d} [u, v, w] = \nabla^2 u \vec{i} + \nabla^2 v\vec{j} + \nabla^2 w \vec{k} = \partial ^2u \vec{i} +\partial ^2 v \vec{j} +\partial ^2 w \vec{k}. }\)

Dodano po 59 minutach 5 sekundach:
Przyjmując:

\(\displaystyle{ \vec{i} \equiv \vec{e}_{1} , \ \ \vec{j} \equiv \vec{e}_{2}, \ \ \vec{k} = \equiv \vec{e}_{3} }\)

\(\displaystyle{ u = a_{1}, \ \ v = a_{2}, \ \ w = a_{3}, }\)

możemy zapisać w notacji Einsteina

\(\displaystyle{ \nabla^2 \vec{d}[a_{1}, a_{2}, a_{3}] = \sum_{i}^{3} \partial ^2 a_{i} \vec{e}_{i} = \partial ^2 a_{i}\vec{e}_{i} = \partial^2 a_{i} \ \ i = 1, 2, 3.}\)

[azaks]

Dzięki za odpowiedź. Jeszcze pytanie: jak wiadomo wynikiem jest wektor, zatem czy wynik mogę zapisać w ten sposób:
\(\displaystyle{ \nabla^2 \vec{d} [u, v, w] = [ \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2}+ \frac{\partial ^2 u}{\partial y ^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z ^2}, \frac{\partial ^2 v}{\partial x ^2}+ \frac{\partial ^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 v}{\partial z ^2} , \frac{\partial ^2 w}{\partial x ^2}+ \frac{\partial ^2 w}{\partial y ^2} + \frac{\partial ^2 w}{\partial z ^2} ] }\)

[janusz47]

Jeśli każda składowa pola wektorowego zależy do trzech zmiennych \(\displaystyle{ x, y, z ,}\) to możemy w ten sposób zapisać wynik działania operatorem Laplace'a.