Matematyka.pl

Znajdź rozwiązanie metodą transformaty Laplace'a następującego równania: \(\displaystyle{ y'(t)=-y(t)+ e^{iωt} }\) z warunkami początkowymi \(\displaystyle{ y(0)=0, y'(0)=1}\)

moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ y'(t)\right\}+\mathcal{L}\left\{ y(t)\right\} -\mathcal{L} \left\{ e^{iωt}\right\} =0}\)
dalej
\(\displaystyle{ s\mathcal{L}\left\{ y(t)\right\}-y(0)+\mathcal{L}\left\{ y(t)\right\} -\mathcal{L} \left\{ e^{iωt}\right\} =0}\)
następnie
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ y(t)\right\}\left( s+1\right) =\mathcal{L} \left\{ e^{iωt}\right\} }\) obustronnie dzielę przez \(\displaystyle{ \left( s+1\right) }\)
finalnie otrzymuję
\(\displaystyle{ y(t)= \frac{1}{s-iω} \cdot \frac{1}{s+1} }\)

mam mieszane uczucia co do wyniku, czy ktoś mógłby sprawdzić i ewentualnie poprawić?

endriu86 pisze:finalnie otrzymuję
\(\displaystyle{ y(t)= \frac{1}{s-iω} \cdot \frac{1}{s+1}}\)

No nie. Otrzymujesz \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{y(t)\right\}=\frac{1}{s-i\omega}\cdot \frac{1}{s+1}}\).
Rozkładamy prawą stronę na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{s-i\omega}\cdot \frac{1}{s+1}=\frac{A}{s-i\omega}+\frac{B}{s+1}}\).
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=0\\A-i\omega B=1\end{cases}}\)
z którego wychodzi \(\displaystyle{ A=\frac{1}{1+i\omega}, \ B=-\frac{1}{1+i\omega} }\)
Z liniowości transformaty Laplace'a i podstawowych wzorów mamy zaś
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+i\omega}\cdot \frac{1}{s-i\omega}-\frac{1}{1+i\omega}\cdot \frac{1}{s+1}=\mathcal{L}\left\{\frac{1}{1+i\omega}e^{i\omega t}-\frac{1}{1+i\omega}e^{-t}\right\}}\),
a stąd, ponieważ transformata Laplace'a jest \(\displaystyle{ 1-1}\), dostajemy
\(\displaystyle{ y(t)=\frac{1}{1+i\omega}\cdot e^{i\omega t}-\frac{1}{1+i\omega}\cdot e^{-t}}\).