Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
trzebasieuczyc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 wrz 2019, o 21:25
Płeć: Mężczyzna

Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Post autor: trzebasieuczyc »

Witam, mam problem jak w temacie:

Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.
Mam: \(y' = 1 + y^2\)
a) \(y = 0\)
b) \(y = x^2\)
c) \(y = \sin x\)
d) \(y = \mbox{tg}\, x.\)

Nie mam pojęcia jak to zrobić czy scałkować \(\displaystyle{ y'}\), czy może zróżniczkować \(\displaystyle{ y}\).
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2019, o 22:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Post autor: a4karo »

A jak sprawdzasz czy \(4\) jest rozwiązaniem równania \(2+x=6\)?
Awatar użytkownika
trzebasieuczyc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 wrz 2019, o 21:25
Płeć: Mężczyzna

Re: Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Post autor: trzebasieuczyc »

Zrobiłbym, że po jednej stronie umieściłbym \(\displaystyle{ x}\) a po drugiej resztę. Nie wiem czy chodzi o to w tej wskazówce, że mam mieć \(\displaystyle{ y = \sqrt{y'-1}}\)? Czy może podstawić pod to co mam czyli \(\displaystyle{ y' = 1 + y^2}\) kolejne odpowiedzi i sprawdzić, która będzie pasowała. Z drugiej strony nie wiem też jak zrobić to skoro w odpowiedziach są \(\displaystyle{ x}\).
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2019, o 22:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Post autor: Jan Kraszewski »

trzebasieuczyc pisze: 12 wrz 2019, o 22:40Czy może podstawić pod to co mam czyli \(\displaystyle{ y' = 1 + y^2}\) kolejne odpowiedzi i sprawdzić, która będzie pasowała.
Jak nie chcesz rozwiązywać (bardzo prostego) równania różniczkowego, to to jest najprostszy sposób.
trzebasieuczyc pisze: 12 wrz 2019, o 22:40Z drugiej strony nie wiem też jak zrobić to skoro w odpowiedziach są \(\displaystyle{ x}\).
Normalnie. Np. w b) masz
\[\left( x^2\right)'=1+\left(x^2\right)^2.\]
JK
Awatar użytkownika
trzebasieuczyc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 wrz 2019, o 21:25
Płeć: Mężczyzna

Re: Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Post autor: trzebasieuczyc »

Dziękuję za odpowiedź, z tego co obliczyłem odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ y = \text{tg}\,x }\).

Co by było gdybym nie miał podanych odpowiedzi, jakie kroki bym musiał wtedy zastosować?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Post autor: Jan Kraszewski »

To jest równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych. Mamy
\[y'=1+y^2\\
\frac{dy}{dx}=1+y^2\\
\frac{dy}{1+y^2}=dx\\
\int\frac{dy}{1+y^2}=\int dx\]
i dalej już prosto.

JK
Awatar użytkownika
trzebasieuczyc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 wrz 2019, o 21:25
Płeć: Mężczyzna

Re: Zbadaj, która z funkcji jest rozwiązaniem równania różniczkowego.

Post autor: trzebasieuczyc »

Bardzo dziękuję!

Pozdrawiam serdecznie.
ODPOWIEDZ