Przepływ strumienia

[Benny01]

Mam pewien problem natury fizycznej. Nie rozumiem pewnego wynikania z książki.
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie obszarem o gładkim brzegu a \(\displaystyle{ u}\) gęstość pewnej wielkości w stanie równowagi. Z tego wynika, że całkowity przepływ przez brzeg \(\displaystyle{ V}\) jest równy zero.
\(\displaystyle{ \int_{ \partial V} F \cdot v \mbox{d}S=0}\)
\(\displaystyle{ F}\) to gęstość strumienia przepływu, \(\displaystyle{ v}\) pole jednostkowe wektora normalnego

[janusz47]

Równanie to jest zgodne z interpretacją fizyczną równania Laplace’a, mówiącą
o tym, że jeżeli \(\displaystyle{ u}\) opisuje gęstość pewnej wielkości, będącej w stanie równowagi, to
całkowity przepływ \(\displaystyle{ u}\) przez brzeg \(\displaystyle{ \partial V}\) jest równy zeru.-- 19 lip 2019, o 22:37 --Wyprowadzenie wniosku z twierdzenia Greena-Gaussa-Ostrogradskiego.

Patrz na przykład

Lawrance C. Evans. Równania różniczkowe cząstkowe. PWN Warszawa 2002.

[Benny01]

No właśnie mam tę książkę i właśnie z niej to wziąłem. Może ja czegoś nie doczytałem między wierszami.
Jeśli bredzę to proszę mnie poprawić.
Skoro wiemy, że gęstość jest w stanie równowagi to znaczy, że nie ma zewnętrznych źródeł, więc całka z dywergencji jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a zatem powyższa całka również.

[janusz47]

Nie bredzisz.

[Benny01]

Dobra wydaje mi się że to rozumiem, dzięki

[janusz47]

Ogólniej, to stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej funkcji harmonicznej \(\displaystyle{ u,}\) określonej w obszarze ograniczonym \(\displaystyle{ \Omega}\) z gładkim brzegiem \(\displaystyle{ \partial G}\), takim, że \(\displaystyle{ \overline{G} \subseteq \Omega.}\)