Jak pokazać/uzasadnić, że dwuwymiarowe równanie dyfuzji
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\)
jest typu parabolicznego?
Ogólnie znana klasyfikacja dotyczy poszukiwanej funkcji dwóch zmiennych \(\displaystyle{ u=u(x,y)}\).
Tutaj występują trzy zmienne \(\displaystyle{ u=u(x,y,t)}\).
Klasyfikacja równania dyfuzji 2D
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Klasyfikacja równania dyfuzji 2D
Równanie możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{ \partial t} - \Delta u = 0 \ \ (1)}\)
Uwzględniając w \(\displaystyle{ \RR^3}\) punkty \(\displaystyle{ (x,y, \tau)}\) gdzie \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2}\), \(\displaystyle{ \tau \in \RR}\) - możemy napisać równanie charakterystyczne równania odpowiadające równaniu \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ \Lambda (\xi, \tau) = -|\xi|^2 = 0}\)
Po dokonaniu przekształcenia ortogonalnego
\(\displaystyle{ \xi = P\eta}\)
otrzymamy równanie
\(\displaystyle{ \Lambda (P\eta) = \sum_{j=1}^{2}\lambda_{j}\eta^2_{j} = \lambda_{1}\eta^2_{1} + \lambda_{2}\eta^2_{2},}\)
z którego wynika, że wszystkie wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{j}}\) - mają ten sam znak - równanie jest typu parabolicznego.
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{ \partial t} - \Delta u = 0 \ \ (1)}\)
Uwzględniając w \(\displaystyle{ \RR^3}\) punkty \(\displaystyle{ (x,y, \tau)}\) gdzie \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2}\), \(\displaystyle{ \tau \in \RR}\) - możemy napisać równanie charakterystyczne równania odpowiadające równaniu \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ \Lambda (\xi, \tau) = -|\xi|^2 = 0}\)
Po dokonaniu przekształcenia ortogonalnego
\(\displaystyle{ \xi = P\eta}\)
otrzymamy równanie
\(\displaystyle{ \Lambda (P\eta) = \sum_{j=1}^{2}\lambda_{j}\eta^2_{j} = \lambda_{1}\eta^2_{1} + \lambda_{2}\eta^2_{2},}\)
z którego wynika, że wszystkie wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{j}}\) - mają ten sam znak - równanie jest typu parabolicznego.