Rozwiązać problemy początkowe dla równania
\(\displaystyle{ y'=-(y+1) ^{2} \\
a) y(-5)=-1, \\
b)y(0)=1,\\}\)
Trochę nie wiem co kryje się pod tym zagadnieniem "Problemy początkowe" mam obliczyć stałą C?
Rozwiązać problemy początkowe dla równania
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Rozwiązać problemy początkowe dla równania
\(\displaystyle{ y' = -(y+1)^2, \ \ y\in \RR - \{-1 \}.}\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ -\frac{dy}{(y+1)^2} = dt}\)
Całkujemy obustronnie
\(\displaystyle{ \int -\frac{dy}{(y+1)^2} = \int dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{y+1} = t + C}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{t + C } - 1}\)
Stałą \(\displaystyle{ C}\) wyznaczamy z warunków początkowych (Cauchy)
a) \(\displaystyle{ y(-5)= - 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{-5 +C} -1 = -1, \ \ \frac{1}{C - 5} = 0, \ \ C = \infty.}\)
Rozwiązanie szczególne (Cauchy):
\(\displaystyle{ y_{a} = -1.}\)
Podobnie znajdujemy rozwiązanie zagadnienia początkowego (Cauchy) (rozwiązanie szczególne) b).
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ -\frac{dy}{(y+1)^2} = dt}\)
Całkujemy obustronnie
\(\displaystyle{ \int -\frac{dy}{(y+1)^2} = \int dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{y+1} = t + C}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{t + C } - 1}\)
Stałą \(\displaystyle{ C}\) wyznaczamy z warunków początkowych (Cauchy)
a) \(\displaystyle{ y(-5)= - 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{-5 +C} -1 = -1, \ \ \frac{1}{C - 5} = 0, \ \ C = \infty.}\)
Rozwiązanie szczególne (Cauchy):
\(\displaystyle{ y_{a} = -1.}\)
Podobnie znajdujemy rozwiązanie zagadnienia początkowego (Cauchy) (rozwiązanie szczególne) b).