Przykłady zastosowań

[Corinek]

Witam

Prosiła bym was o bardzo proste przykłady gdzie widać zastosowanie:
1. Lematu Gromwall'a
2. Wzoru Liouville'a (tego z Wrońskianem)
3. Wzór na zmienność stałych (?) (Variation od Constant Formula]
4. Twierdzenia o prostowaniu
5. Twierdzenia Hartmana-Grobmana

Mam egzamin, a profesor uwielbia pytać o zastosowania i przykłady (mimo iż ich praktycznie nie podaje). I o ile jestem w stanie znaleźć w części przypadków zastosowania, to przykłady znajduję takie trudne, że nie ma opcji żebym je zrozumiała i była w stanie zrobić z pamięci.

[janusz47]

Wszystkie zagadnienia przedstawione przez Panią dotyczą teorii równań różniczkowych zwyczajnych.

1
Lemat Thomasa Gronwalla, a właściwie nierówność wynikającą z tego lematu

\(\displaystyle{ \parallel x(t)\parallel \leq e^{(t-t_{0})K_{t_{0},t}}}\parallel x(t_{0})\parallel}\)

wykorzystujemy w dowodzie twierdzenia o postaci rozwiązania \(\displaystyle{ x(t)}\) jednorodnego układu równań różniczkowych liniowych (równania różniczkowego liniowego)

\(\displaystyle{ x' = A(t) \cdot x}\),

2
Z twierdzenia Josepha Liouville'a - Michajła- Ostrogradskiego otrzymujemy wzór na rozwiązanie ogólne równania różniczkowego \(\displaystyle{ n-}\)tego rzędu- jednorodnego lub układu równań różniczkowych zwyczajnych dla fundamentalnego układu rozwiązań

\(\displaystyle{ W(t) = W(t_{0})e^{\int_{t_{0}}^{t} a(s)ds }}\)

3
Metoda o uzmienniania stałych (Josepha Lagrange'a) polega na znalezieniu rozwiązania ogólnego układu niejednorodnego , gdy znany jest układ fundamentalny rozwiązań układu jednorodnego.

Wtedy rozwiązanie układu niejednorodnego szukamy w postaci:

\(\displaystyle{ y_{k} = \sum_{i=1}^{n} C_{i}(x)z_{i k}, \ \ k=1,2,...,n}\)

4
Dwa twierdzenie o prostowaniu krzywych całkowych dają precyzyjny opis lokalnego zachowania się krzywych całkowych.
Jeśli weźmiemy pod uwagę związek między polem wektorowym a rozwiązaniem równania różniczkowego - jego krzywymi całkowymi, to możemy zauważyć, że dyfeomorfizm \(\displaystyle{ g}\) przeprowadza równanie \(\displaystyle{ x' = f(t, x)}\) w równanie \(\displaystyle{ u'(s) =0}\), które opisuje krzywe całkowe jednostkowego - stałego pola wektorowego \(\displaystyle{ [1, 0 ].}\)

5
Twierdzenia Stanisława Hartmana - Grobmana
Pozwalają naszkicować portret fazowy równania różniczkowego nieliniowego po obcięciu do pewnego otoczenia punktu stałego \(\displaystyle{ x_{0}}\) sprzężonego przez równanie rózniczkowe o stałych współczynnikach \(\displaystyle{ y' = Df(x_{0})\cdot y}\)
Układy równań liniowych o stałych współczynnikach są najlepiej zbadanym rodzajem równań rózniczkowych. Ich rozwiązania znamy w jawnej postaci.

[Corinek]

Bardzo dziękuję