Kulista planeta zbudowana z jednorodnego materiału o zadanej przewodności cieplnej \(\displaystyle{ \kappa}\) i cieple właściwym \(\displaystyle{ c_{p}}\). W chwili początkowej planeta ma temperaturę jednakową w całej objętości równą \(\displaystyle{ T_{0}>0 K}\) . Planeta jest w dużej odległości od gwiazdy, tak, ze praktycznie promieniowanie gwiazdy do niej nie dociera. Ponieważ ma temperaturę wyższą od zera więc sama promieniuje zgodnie z prawem Stefana – Boltzmanna: Powierzchniowy strumień ciepła =\(\displaystyle{ \sigma \cdot T^{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ T}\) - temperatura powierzchni planety. Sformułuj matematyczny problem stygnięcia planety podając odpowiednie równanie, warunki brzegowe i początkowe.
Proszę o wskazówki w rozwiązaniu zadania
Pozdrawiam
Powierzchniowy strumień ciepła
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Powierzchniowy strumień ciepła
Zgodnie z prawem Stefana_ Boltzmanna powierzchniowy strumień ciepła emitowanego przez planetę
\(\displaystyle{ q = \sigma \cdot \epsilon \cdot S \cdot T^{4}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ S}\) oznacza powierzchnię planety;
\(\displaystyle{ T}\) jej temperaturę w Kelvinach;
\(\displaystyle{ \epsilon}\) współczynnik emisyjności;
\(\displaystyle{ \sigma =5,67 \cdot 10^{-8} W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}\) - stałą Stefana-Boltzmanna.
Z treści zadania wynika, że ciepło pochłaniane \(\displaystyle{ q_{poch}}\) dla tej planety ze względu na jej położenie jest równe zeru
\(\displaystyle{ q_{poch.} = 0 \ \ (1)}\)
Zgodnie z Prawem Fouriera chwilowy strumień ciepła \(\displaystyle{ q}\) jest proporcjonalny do gradientu temperatury
\(\displaystyle{ q(X, t) = -\kappa \cdot grad T( X, t),}\)
gdzie współczynnik proporcjonalności \(\displaystyle{ \kappa}\) jest przewodnością cieplną planety.
Jeżeli strumień ciepła jest stały na całej powierzchni planety, której powłoka ma pole \(\displaystyle{ \Delta S}\) to
\(\displaystyle{ q_{n} = -\kappa \cdot \vec{n}\cdot grad (T)\cdot \Delta S \cdot \Delta t}\)
Zgodnie z I zasadą termodynamiki i \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ 0 = Q + \Delta E_{w}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ -\kappa \frac{ \partial T(X, t)}{ \partial t}\Delta S \cdot \Delta T = \Delta E_{w}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ Q = -\kappa \frac{\partial T(x, t)}{\partial x}\cdot \Delta S \cdot \Delta t}\)
Zmiana energii wewnętrznej planety wynosi
\(\displaystyle{ \Delta E_{w} = c_{p}\cdot [T(x + \Delta t) - T(x, t)]\cdot \Delta V}\)
Dla powłoki kulistej
\(\displaystyle{ \Delta S = 4\pi x^2}\)
\(\displaystyle{ \Delta V = \frac{4}{3}( \pi( x +\Delta x)^3 - x^3 ) = 4\pi(x^2\Delta x + x \Delta x^2)}\)
Odrzucamy człon kwadratowy \(\displaystyle{ \Delta x^2}\) i dzielimy przez \(\displaystyle{ 4\pi \Delta x}\) przy \(\displaystyle{ \Delta t \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ c_{p} \frac{\partial T(x, t)}{ \partial t} = -\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\partial}{ \partial x} \left[\kappa \cdot x^2\cdot \frac{\partial T(x, t)}{\partial x} \right]}\)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe cząstkowe, modelujące proces stygnięcia planety.
Temperatura \(\displaystyle{ T}\)
\(\displaystyle{ T( x, 0) = T_{0}> 0,}\)
\(\displaystyle{ T( 0, t ) = 0.}\)
\(\displaystyle{ T_{0} < T \leq \left(\frac{Q}{\epsilon \cdot \sigma \cdot S}\right)^{\frac{1}{4}}.}\)
\(\displaystyle{ q = \sigma \cdot \epsilon \cdot S \cdot T^{4}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ S}\) oznacza powierzchnię planety;
\(\displaystyle{ T}\) jej temperaturę w Kelvinach;
\(\displaystyle{ \epsilon}\) współczynnik emisyjności;
\(\displaystyle{ \sigma =5,67 \cdot 10^{-8} W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}\) - stałą Stefana-Boltzmanna.
Z treści zadania wynika, że ciepło pochłaniane \(\displaystyle{ q_{poch}}\) dla tej planety ze względu na jej położenie jest równe zeru
\(\displaystyle{ q_{poch.} = 0 \ \ (1)}\)
Zgodnie z Prawem Fouriera chwilowy strumień ciepła \(\displaystyle{ q}\) jest proporcjonalny do gradientu temperatury
\(\displaystyle{ q(X, t) = -\kappa \cdot grad T( X, t),}\)
gdzie współczynnik proporcjonalności \(\displaystyle{ \kappa}\) jest przewodnością cieplną planety.
Jeżeli strumień ciepła jest stały na całej powierzchni planety, której powłoka ma pole \(\displaystyle{ \Delta S}\) to
\(\displaystyle{ q_{n} = -\kappa \cdot \vec{n}\cdot grad (T)\cdot \Delta S \cdot \Delta t}\)
Zgodnie z I zasadą termodynamiki i \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ 0 = Q + \Delta E_{w}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ -\kappa \frac{ \partial T(X, t)}{ \partial t}\Delta S \cdot \Delta T = \Delta E_{w}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ Q = -\kappa \frac{\partial T(x, t)}{\partial x}\cdot \Delta S \cdot \Delta t}\)
Zmiana energii wewnętrznej planety wynosi
\(\displaystyle{ \Delta E_{w} = c_{p}\cdot [T(x + \Delta t) - T(x, t)]\cdot \Delta V}\)
Dla powłoki kulistej
\(\displaystyle{ \Delta S = 4\pi x^2}\)
\(\displaystyle{ \Delta V = \frac{4}{3}( \pi( x +\Delta x)^3 - x^3 ) = 4\pi(x^2\Delta x + x \Delta x^2)}\)
Odrzucamy człon kwadratowy \(\displaystyle{ \Delta x^2}\) i dzielimy przez \(\displaystyle{ 4\pi \Delta x}\) przy \(\displaystyle{ \Delta t \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ c_{p} \frac{\partial T(x, t)}{ \partial t} = -\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\partial}{ \partial x} \left[\kappa \cdot x^2\cdot \frac{\partial T(x, t)}{\partial x} \right]}\)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe cząstkowe, modelujące proces stygnięcia planety.
Temperatura \(\displaystyle{ T}\)
\(\displaystyle{ T( x, 0) = T_{0}> 0,}\)
\(\displaystyle{ T( 0, t ) = 0.}\)
\(\displaystyle{ T_{0} < T \leq \left(\frac{Q}{\epsilon \cdot \sigma \cdot S}\right)^{\frac{1}{4}}.}\)