Proces wyrównywania się temperatur

[Lucas96]

Dwie części pręta połączono w chwili \(\displaystyle{ t=0}\), tak że stanowią jeden pręt z izolowanymi cieplnie końcami (boki pręta też są izolowane cieplnie). Pierwsza część pręta ma długość \(\displaystyle{ \pi /2}\) oraz stałą temperaturę początkową \(\displaystyle{ T_{0}}\) podczas gdy druga również o długości \(\displaystyle{ \pi /2}\) ma temperaturę początkową równą zero. Przewodnictwo cieplne oraz ciepło właściwe przyjmujemy równe \(\displaystyle{ 1}\). Wyznacz proces wyrównywania się temperatur, tzn. podaj wzór na \(\displaystyle{ T(t,x)}\) rozwiązując odpowiednie równanie.

Jakieś pomysły?

[janusz47]

Z treści zadania wynika, że rozważamy jednorodny sprzęt o długości \(\displaystyle{ l = \pi}\), którego końce są utrzymane w stałych temperaturach równych odpowiednio \(\displaystyle{ T(t,0) = T_{0}, \ \ T(t, l) = 0.}\)

Zakładamy ponadto, że dany jest rozkład początkowy temperatury wzdłuż pręta \(\displaystyle{ T(x,0) = \phi(x)}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq x \leq \pi,}\) przy czym funkcja \(\displaystyle{ \phi(x)}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\) w przedziale \(\displaystyle{ [0, \pi ]}\) i spełnia warunki zgodności: \(\displaystyle{ \phi(0) = T_{0}, \ \ \phi(l)= \phi(\pi) = 0.}\)

Przewodnictwo cieplne w rozważanym pręcie jest opisywane przez równanie

\(\displaystyle{ T_{|t} = a^2 \cdot T_{|xx} = 1^2 \cdot T_{|xx} \ \ (1)}\)

przy czym \(\displaystyle{ 0 \leq x \leq \pi , \ \ t \geq 0.}\)

Rozwiązania tego problemu dla równania \(\displaystyle{ (1)}\) poszukujemy w postaci sumy

\(\displaystyle{ T(t,x ) = T(x) + \omega(t, x) \ \ (2)}\)

gdzie

funkcja \(\displaystyle{ T(x)}\) spełnia równanie różniczkowe zwyczajne

\(\displaystyle{ \frac{d^2 T}{dx^2} = 0 \ \ (3)}\)

i warunki \(\displaystyle{ T(0) = T_{0}, \ \ T(\pi) = 0 \ \ (4)}\)

zaś funkcja \(\displaystyle{ \omega(t, x)}\) spełnia równanie przewodnictwa \(\displaystyle{ (1)}\) oraz warunek początkowy

\(\displaystyle{ \omega(0, x) = \psi(x) = \phi(x) - T(x)}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq x \leq \pi \ \ (5)}\)

i jednorodne warunki brzegowe

\(\displaystyle{ \omega(t,0) = \omega(t, \pi) = 0}\) dla \(\displaystyle{ t\geq 0.}\)

Proszę znaleźć całkę równania \(\displaystyle{ (3),}\) spełniającą warunki \(\displaystyle{ (4)}\)

i funkcję \(\displaystyle{ \omega( t, x)}\) metodą Fouriera polegającą na poszukiwaniu rozwiązań szczególnych (niebanalnych) równania \(\displaystyle{ (1)}\) spełniających warunek początkowy \(\displaystyle{ (5),}\) mających postać

\(\displaystyle{ \omega(t, x) = T(t)\cdot X(x)}\).

[Lucas96]

Dziękuję za pomoc przy zadaniu