Rozwiąż używając metody rozdzielania zmiennych

[Dariomario]

Witam, chciałbym zrozumieć w jaki sposób rozwiązać takie równania, korzystając z metody rozdzielania zmiennych:

\(\displaystyle{ a)\ u_t=3u_x \\
b)\ u_x+u_y=0 \\
c)\ u_x+e^{-x}u_y=0}\)

Bardzo dziękuje za każdą poradę i pomoc

Do przykładu a:
Zakładam, że istnieje rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ u(x,t) = X(x) \cdot T(t)}\)
\(\displaystyle{ U_x=X'(x) \cdot T(t) \\
U_t=X(x) \cdot T'(t)}\)

wstawiając do równania:
\(\displaystyle{ X(x) \cdot T'(t) = 3 \cdot (X'(x) \cdot T(t)) \\
X(x) \cdot T'(t) = 3X'(x) \cdot 3T(t) \\
\frac{X(x)}{3X'(x)}=\frac{3T(t)}{T'(t)}}\)
więc udało się rozdzielić zmienne. Co dalej?

[szw1710]

Skoro lewa strona zależy tylko od \(\displaystyle{ x}\), a prawa tylko od \(\displaystyle{ t}\), to obie muszą być (tą samą) stałą.

[Dariomario]

Ok, dziękuje. Postanowiłem wziąć więc na tapetę przykład:
\(\displaystyle{ U_t = U \cdot U_x}\)
zakładamy, że:
\(\displaystyle{ u(x,t) = X(x) \cdot T(t) \\
U_t=X \cdot T' \\
U_x = X' \cdot T \\
U = X \cdot T}\)
wstawiając do równania otrzymuje:
\(\displaystyle{ X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T \\
\frac{T'}{T^2} = X' = k - const \\
\frac{T'}{T^2}=k \\
T' = kT^2 \\
\frac{dT}{dx} = kT^2 \\
\frac{dT}{T^2}=kdx \\
- \frac{1}{t}+C_1 = kx \\
T(t) = - \frac{1}{kx}+ \frac{1}{C_1}}\)

rozwiązując drugą część równania:
\(\displaystyle{ X' = k \\
\frac{dX}{dx} = k \\
dX = kdx \\
X = kx + C_2 \\
X(x) = kX + C_2}\)

wstawiając do równania, mogę \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) zapisać jako \(\displaystyle{ C}\)?:
\(\displaystyle{ U(x,t) = - \frac{1}{kx} \cdot kX + C}\)

Bardzo dziękuje za pomoc

[a4karo]

Ok, dziękuje. Postanowiłem wziąć więc na tapetę przykład:
\(\displaystyle{ U_t = U \cdot U_x}\)
zakładamy, że:
\(\displaystyle{ u(x,t) = X(x) \cdot T(t)}\)
\(\displaystyle{ U_t=X \cdot T'}\)
\(\displaystyle{ U_x = X' \cdot T}\)
\(\displaystyle{ U = X \cdot T}\)
wstawiając do równania otrzymuje:
\(\displaystyle{ X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T}\)
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T^2} = X' = k - const}\)
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T^2}=k}\)
\(\displaystyle{ T' = kT^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dT}{dx} = kT^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dT}{T^2}=kdx}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{t}+C_1 = kx}\)
\(\displaystyle{ T(t) = - \frac{1}{kx}+ \frac{1}{C_1}}\)

rozwiązując drugą część równania:
\(\displaystyle{ X' = k}\)
\(\displaystyle{ \frac{dX}{dx} = k}\)
\(\displaystyle{ dX = kdx}\)
\(\displaystyle{ X = kx + C_2}\)
\(\displaystyle{ X(x) = kX + C_2}\)

wstawiając do równania, mogę \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) zapisać jako \(\displaystyle{ C}\)?:
\(\displaystyle{ U(x,t) = - \frac{1}{kx} \cdot kX + C}\)

Bardzo dziękuje za pomoc

Znaki "prim" w równaniu \(\displaystyle{ X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T}\) oznaczają różniczkowania po różnych zmiennych.
Zanalizuj jeszcze raz swoje "rozwiązanie"

[Dariomario]

No rozumiem, dążę do tego aby X zostawić po jednej stronie, a T po drugiej. Wtedy:
\(\displaystyle{ X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T}\)
dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ XT^2}\)
otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T^2} = X' = k - const}\)

[a4karo]

I teraz robisz błąd, bo piszesz \(\displaystyle{ \frac{dT}{dx}=T^2}\), a ten prim oznacza akurat różniczkowanie po \(\displaystyle{ t}\)

Nie zastanowiło Cię, że otrzymany przez Ciebie wynik nie zależy od zmiennej \(\displaystyle{ t}\)?????

[Dariomario]

Okay, zauważyłem, fakt:
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T^2} = k \\
T' = kT^2 \\
\frac{dT}{dt} = kT^2 \\
\frac{dT}{T^2} = kdt \\
- \frac{1}{T} + C_1 = kt \\
T = - \frac{1}{kt} + \frac{1}{C_1}}\)


rozwiązując drugą część równania:
\(\displaystyle{ X' = k \\
\frac{dX}{dx} = k \\
dX = kdx \\
X = kx + C_2 \\
X(x) = kx + C_2}\)

wstawiając do równania, mogę \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) zapisać jako \(\displaystyle{ C}\)?:
\(\displaystyle{ U(x,t) = - \frac{1}{kt} \cdot kx + C = - \frac{kx}{kt}+C = - \frac{x}{t}+C}\)

Jest ok?

[a4karo]

Po pierwsze z \(\displaystyle{ - \frac{1}{T} + C_1 = kt}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ T = - \frac{1}{kt} + \frac{1}{C_1}}\)

Po drugie: niepoprawnie pomnożyłeś \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ T}\)

[Dariomario]

\(\displaystyle{ - \frac{1}{T} = kt - C_1 / ^{-1} \\
-T = \frac{1}{kt-C_1} / \cdot \left( -1 \right) \\
T = - \frac{1}{kt-C_1}}\)

\(\displaystyle{ X \cdot T = \left( kx + C_2 \right) \cdot \left( - \frac{1}{kt-C_1} \right) = - \frac{kx+C_2}{kt-C_1}}\)

Jeśli popełniłem teraz gdzieś błąd, proszę o wskazanie :/