Strona 1 z 1
Równania różniczkowe rzędu II (metoda uzmienniania stałych)
: 20 kwie 2019, o 18:52
autor: ola7
Hej, potrzebuję pomocy z następującymi przykładami:
a) \(\displaystyle{ y''-y=\frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}}}\)
b) \(\displaystyle{ y''-2y'\tg x=1}\)
Wiem, że najpierw należy rozwiązać równanie jednorodne...
Równania różniczkowe rzędu II (metoda uzmienniania stałych)
: 21 kwie 2019, o 11:12
autor: kerajs
a) \(\displaystyle{ y''-y=\frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}}}\)
\(\displaystyle{ y''-y=0\\
y=C_1e^x+C_2e^{-x}}\)
Musisz rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} e^{x}&e^{-x}\\e^{x}&-e^{-x}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1' \\ C_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}} \end{bmatrix}}\)
b) \(\displaystyle{ y''-2y'\tg x=1}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ y' =q(x) \ \ \Rightarrow \ \ y''=q'}\)
obniża rząd i daje równanie liniowe
\(\displaystyle{ q'-(2 \tg x )q=1}\)
Równania różniczkowe rzędu II (metoda uzmienniania stałych)
: 21 kwie 2019, o 15:56
autor: Mariusz M
Skoro ma być uzmiennianie stałych to w tym drugim równaniu należy zamienić zmienną niezależną
\(\displaystyle{ y''-2y'tgx=1\\
t=\tg{x}\\
\frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }=1+\tg^2{x} \\
\frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }= 1 + t^2\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t} \cdot \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=\left( 1+t^2\right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right) \\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} =\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t }\left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t} \cdot \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \right) \cdot \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t }\left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\left( 1+t^2\right) \right) \left( 1+t^2\right) \\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2}=\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2+2t\left( 1+t^2\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2+2t\left( 1+t^2\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}-2t\left( 1+t^2\right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}=1\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2=1\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}=\frac{1}{\left( 1+t^2\right)^2}\\}\)