Strona 1 z 1
Trajektorie ortogonalne.
: 3 kwie 2019, o 21:41
autor: Raziel95
Mam równanie:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}=Cx}\)
Wyznaczam \(\displaystyle{ C}\):
\(\displaystyle{ C = \frac{x^{2} + y^{2}}{x}}\)
Teraz pytanie jak to zróżniczkować.
Wiem, że powinno być:
\(\displaystyle{ 2x+2yy'=C}\)
Wiem czemu jest \(\displaystyle{ 2x}\) i \(\displaystyle{ C}\)
Ale nie wiem czemu \(\displaystyle{ 2yy'}\)
Potem wyznaczyć \(\displaystyle{ y'}\) przerzucając wszystko na prawą stronę?
i podstawić \(\displaystyle{ y'= -\frac{1}{y'}}\)
Proszę o wyjaśnienie.
Trajektorie ortogonalne.
: 3 kwie 2019, o 22:49
autor: kerajs
Raziel95 pisze:
Wiem, że powinno być:
\(\displaystyle{ 2x+2yy'=C}\)
Wiem czemu jest \(\displaystyle{ 2x}\) i \(\displaystyle{ C}\)
Ale nie wiem czemu \(\displaystyle{ 2yy'}\)
Bo
\(\displaystyle{ y}\) jest pewną funkcją
\(\displaystyle{ x}\). Traktuj
\(\displaystyle{ y^2}\) jak funkcję złożoną, gdzie funkcją zewnętrzną jest potęgowanie.
\(\displaystyle{ (y^2)'_x=2y \cdot (y)'_x=2yy'}\)
Raziel95 pisze:
Potem wyznaczyć \(\displaystyle{ y'}\) przerzucając wszystko na prawą stronę?
i podstawić \(\displaystyle{ y'= -\frac{1}{y'}}\)
Wpierw pozbądź się stałej C
\(\displaystyle{ 2x+2yy'=C \wedge C= \frac{x^2+y^2}{x}}\)
\(\displaystyle{ 2x+2yy'=\frac{x^2+y^2}{x}}\)
Dopiero teraz mozesz
Raziel95 pisze:
podstawić \(\displaystyle{ y'= -\frac{1}{y'}}\)
Pozostaje jeszcze rozwiązać uzyskane równanie. (pewnie wystarczy podstawienie
\(\displaystyle{ t= \frac{y}{x}}\) )
Re: Trajektorie ortogonalne.
: 3 kwie 2019, o 22:59
autor: Raziel95
Ale jak różniczkuje względem \(\displaystyle{ x}\) to czy \(\displaystyle{ y^{2}}\) nie powinno być równe \(\displaystyle{ 0}\)?
Oraz czemu \(\displaystyle{ \left( y^{2} \right) _{x} ^{'} = 2y \cdot \left( y\right) _{x} ^{'}?}\)
Możesz mi to dokładniej wyjaśnić?
Trajektorie ortogonalne.
: 3 kwie 2019, o 23:03
autor: kerajs
Ależ już to napisałem:
kerajs pisze:
Bo \(\displaystyle{ \red y}\) jest pewną funkcją \(\displaystyle{ \red x}\). Traktuj \(\displaystyle{ y^2}\) jak funkcję złożoną, gdzie funkcją zewnętrzną jest potęgowanie.