Matematyka.pl

Mam równanie:
\(\displaystyle{ t^{2}x' + tx + t^{2}x^{2} =4}\)

Sprowadzam do postaci równania Riccatiego.
\(\displaystyle{ x' = \frac{4}{ t^{2} } - \frac{x}{t} - x^{2}}\)

I teraz mam problem. Wiem, że należy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ x = x_{1} + u}\)
Tylko jak wyliczyć \(\displaystyle{ x_{1}}\)?

Tę jedną całkę szczególną należy wcześniej znać lub po prostu ją zgadnąć.
\(\displaystyle{ x_1= \frac{2}{t}}\)

Zgadnąć? W jaki sposób?

Hmm, nie znam przepisu na zgadywanie.

Patrząc na pierwsze równanie pomyślałem że przy \(\displaystyle{ x= \frac{A}{t}}\) po lewej stronie \(\displaystyle{ t}\) się skrócą dając pewną stałą.
Pozostało wyliczyć takie A, aby ta stała wynosiła 4.
\(\displaystyle{ t^2 \cdot \frac{-A}{t^2}+ t \cdot \frac{A}{t}+t^2( \frac{A}{t}) ^2=4\\
-A+A+A^2=4\\
A=2 \vee A=-2}\)