Strona 1 z 2

Rozwiąż równanie

: 24 lut 2019, o 21:05
autor: arek1357
\(\displaystyle{ xy+x^2y'= \frac{1}{2-x}}\)

Re: Rozwiąż równanie

: 24 lut 2019, o 21:29
autor: a4karo
\(\displaystyle{ z=xy}\)

Re: Rozwiąż równanie

: 24 lut 2019, o 21:45
autor: arek1357
I ja mam to rozwiązać ?

Re: Rozwiąż równanie

: 24 lut 2019, o 21:53
autor: a4karo
Jak pytasz, to daję Ci wskazówkę. Nie jest to na tyle skomplikowane zadanie, żeby chwalić się umiejętnością jego rozwiązania.

Re: Rozwiąż równanie

: 24 lut 2019, o 21:58
autor: arek1357
No nie jest skomplikowane , ale może ktoś rozwiązać , rzuciłem go jako odprysk a innego problemu, który rozwiązywałem a , że równanie wydało mi się ładne więc wrzuciłem.

Oryginalnie powinno wyglądać następująco:

\(\displaystyle{ xy'+x^2y''= \frac{1}{2-x}}\)

Celowo go uprościłem ponieważ w tym przypadku wychodzą funkcje specjalne, a ja chciałem oszczędzić to ludziom o słabych nerwach...

Rozwiąż równanie

: 25 lut 2019, o 05:48
autor: kerajs
arek1357 pisze:\(\displaystyle{ xy+x^2y'= \frac{1}{2-x}}\)
To równanie liniowe:
\(\displaystyle{ y'+ \frac{1}{x}y= \frac{1}{x^2(2-x)}}\)
o rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ y= \frac{K}{x}+ \frac{1}{2x} \ln \left| \frac{x}{x-2}\right|}\)

Re: Rozwiąż równanie

: 25 lut 2019, o 08:11
autor: a4karo
To jest proste całkowanie :

\(\displaystyle{ y+xy'=(xy) '=\frac{1 } {x(2-x)}}\)

Re: Rozwiąż równanie

: 25 lut 2019, o 09:21
autor: arek1357
To może jeszcze zrobi ktoś w wersji Hard to równanie...

Ja tego nie mogę robić bo ja to zapodałem, więc niech inni się wykażą...

Re: Rozwiąż równanie

: 25 lut 2019, o 09:56
autor: a4karo
\(\displaystyle{ z=y'}\) i jeszcze jedno całkowanie.

Re: Rozwiąż równanie

: 25 lut 2019, o 19:27
autor: albanczyk123456
Równanie można też rozwiązać graficznie, szkicując wykres lewej i prawej strony równania.

Re: Rozwiąż równanie

: 25 lut 2019, o 20:07
autor: a4karo
albanczyk123456 pisze:Równanie można też rozwiązać graficznie, szkicując wykres lewej i prawej strony równania.
Pokażesz?

Re: Rozwiąż równanie

: 25 lut 2019, o 21:16
autor: albanczyk123456
a4karo, Tak.
Lewa strona to zwykła hiperbola. Prawą stronę interpretujmy jako wykres funkcji kwadratowej z parametrami \(\displaystyle{ y, y'}\). Punkty przecięcia to rozwiązania równania.

Re: Rozwiąż równanie

: 25 lut 2019, o 23:04
autor: arek1357
pokaż jak powiedział a4karo, ja dalej tego nie widzę , zaczyna się dziać coś ciekawego...

Re: Rozwiąż równanie

: 26 lut 2019, o 06:54
autor: a4karo
albanczyk123456 pisze:a4karo, Tak.
Lewa strona to zwykła hiperbola. Prawą stronę interpretujmy jako wykres funkcji kwadratowej z parametrami \(\displaystyle{ y, y'}\). Punkty przecięcia to rozwiązania równania.
Myślę, że nie rozumiesz o co chodzi w zadaniu.
Szukamy niewiadomej funkcji \(\displaystyle{ y=y(x)}\), która wstawiona wraz z jej pochodną do równania zmienia je w tożsamość.

Rozwiąż równanie

: 28 lut 2019, o 09:01
autor: kerajs
arek1357 pisze:To może jeszcze zrobi ktoś w wersji Hard to równanie...

Ja tego nie mogę robić bo ja to zapodałem, więc niech inni się wykażą...
Może tak:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left( \frac{K}{x}+ \frac{1}{2x} \ln \left| \frac{x}{x-2}\right|\right) \mbox{d}x = K\ln \left| x\right|+ \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{\ln \left| x\right| }{x} \mbox{d}x - \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{\ln \left| x-2\right| }{x} \mbox{d}x =\\=K\ln \left| x\right|+ \frac{\ln^2\left| x\right| }{2}- \frac{1}{2}A(x) +C\\ A(x)= \int_{}^{}\frac{\ln (x-2)}{x} \mbox{d}x =\left[ x= -2t \right] = \int_{}^{}\frac{\ln \left| -2\right| +\ln \left| t+1\right| }{t} \mbox{d}t =\ln 2 \ln \left| t\right| + \int_{}^{} \frac{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}t^n}{n} }{t} \mbox{d}t =\\=\ln 2 \ln \left| t\right| +\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}t^n}{n^2}=\ln 2 \ln \left| \frac{x}{-2} \right| +\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}(\frac{x}{-2})^n}{n^2}}\)