Matematyka.pl

Wiadomo, że \(\displaystyle{ y_{1}(t) = e^{t}}\) jest rozwiązaniem szczególnym równania:
\(\displaystyle{ ty'' - ty' + y = y^{n}.}\)
Znaleźć rozwiązanie ogólne tego równania, a następnie rozwiązania szczególne spełniające warunki \(\displaystyle{ y(0) = 2, y'(0) = 1.}\)

Czy o to chodzi z tym rozwiązaniem szczególnym?
\(\displaystyle{ y_{1}(t)' = e^{t} \\
y_{1}(t)'' = e^{t} \\
te^{t} - te^{t} + e^{t} = e^{t}^{n} \\
e^{t} = e^{t}^{n} \\
n=1}\)

Tak.

Podstawiamy \(\displaystyle{ y^{n} = e^{t}}\) do równania.

Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania. Oraz rozwiązanie szczególne dla danych warunków początkowych.