Transformata Z
: 18 sty 2019, o 18:43
Proszę o pomoc w wyznaczeniu transformaty Z sygnału:
\(\displaystyle{ x(n)=2n^2 \cdot 4^{n-1}+2(n-2)}\)
\(\displaystyle{ x(n)=2n^2 \cdot 4^{n-1}+2(n-2)}\)
\(\displaystyle{ x(n) = 2n^2\cdot \frac{1}{4}\cdot 4^{n} + 2(n-2)}\)
Z definicji i własności przekształcenia \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[4^{n}] (z) = \sum_{n=0}^{\infty}4^{n}\cdot z^{-n}= 1 +\frac{4}{z}+ \frac{4}{z^2}+...+ \frac{4}{z^{n}}+...=\frac{1}{1 - \left(\frac{4}{z}\right)}, \ \ \left|\frac{4}{z}\right|<1.}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[ 4^{n}] (z) = \frac{z}{z - 4} \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[n^2](z) = - \frac{d }{dz}\mathcal{Z}[n] = -z\frac {d \ \ z }{d z (z-1)^2} = \frac{z^2+z}{(z-1)^3} \ \ (2)}\)
Korzystaliśmy ze wzoru rekurencyjnego
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[n^{p}](z) = -z\frac{d}{dz}\mathcal{Z}[n^{p-1}].}\)
oraz transformaty
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[n](z) = \frac{z}{(z-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[ a^{n}\cdot n^2]\equiv U\left(\frac{z}{a}\right)=\frac{\frac{z}{a}}{\left[\frac{z}{a} - 1\right]^2}= \frac{a\cdot z}{(z-a)^2}.}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[a^{n}\cdot n^2](z) = \frac{a\cdot z^2 +a^2\cdot z}{(z-a)^3} \ \ (3)}\)
Na podstawie (3)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}\left [ 2\cdot n^2 \cdot \frac{1}{4}\cdot 4^{n}\right] = \mathcal{Z}\left [ \frac{1}{2}n^2 \cdot 4^{n}\right] = \frac{1}{2}\cdot \frac{4z^2 +4^2\cdot z}{(z-4)^3} = \frac{2z^2+8z}{(z-4)^3}= \frac{2z\cdot (z+4)}{(z-4)^3} \ \ (4)}\)
Pozostała transformacja \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) drugiego składnika sumy.
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[2(n-2)](z) = \mathcal{Z}(z)[ 2n -4] = \mathcal{Z}(z)[2n] - \mathcal{Z}[4] = \frac{2z}{(z -1)^2} - \frac{4z}{z -1}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[2(n-2)](z) = \frac{2z -4z^2+4z}{(z-1)^2}= \frac{6z - 4z^2}{(z-1)^2}= \frac{2z \cdot (3- 2 z)}{(z-1)^2} \ \ (5)}\)
Z \(\displaystyle{ (4), (5)}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z}[ x(n)] = \mathcal{Z}[ 2n^2\cdot 4^{n-1} + 2(n-2)](z) = \frac{2z\cdot (z+4)}{(z-4)^3} + \frac{2z \cdot (3- 2 z)}{(z-1)^2}.}\)