Obliczyć ekstremale funkcjonału

[fluffiq]

\(\displaystyle{ \math{F}_{u} = \int_{a}^{b} u^{2} +2xuu' \mbox{d}x}\)

w zbiorze funkcji \(\displaystyle{ u \in \math{C}^{1} \left( \left[ a, b \rigtht] \right)}\) spełniających warunki

\(\displaystyle{ u(0) = A,u(b) =B.}\)

Korzystam z równania Eulera-Lagrange:
\(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd x} \left( \frac{ \partial L}{ \partial u'} \right) - \frac{ \partial L}{ \partial u} = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{ \partial u} = 2u + 2xu'}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{ \partial u'} =2xu}\)

\(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd x} \left( \frac{ \partial L}{ \partial u'} \right) =2u}\)

\(\displaystyle{ 2xu' = 0}\)

\(\displaystyle{ xu' = 0}\)

\(\displaystyle{ u(x) = C_{1},}\) gdzie

\(\displaystyle{ C \in \mathbb{R}}\)

i warunek początkowy zadania jest spełniony. Prawda? Czy zrobiłem coś źle?