Matematyka.pl

Witam, \(\displaystyle{ y''+y\tan(t)=e^t \quad y(0)=0 \quad y'(0)=0}\)
musze zbadać czy problem początkowy posiada rozwiązanie i czy rozwiązanie jest dokładnie jedno wykorzystując twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności.
Mógłby mnie ktoś nakierować ?

Zacznij od zamiany równania drugiego rzędu na problem Cauchy'ego pierwszego rzędu (poprzez podstawienie \(\displaystyle{ y' = x}\).

Zacząłem robić to zadanie i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{ll}
x_1'=x_2\\
x_2'=-\tan (t)x_1+e^t\\
x_1(0)=0\\
x_2(0)=0
\end{array} \right.}\)

Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności wynika,ze problem początkowy posiada dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x(t)}\)
na przedziale
\(\displaystyle{ \mathbb{I}=[-a,a]}\)
\(\displaystyle{ x_0(t)=x_0,\quad x_{n+1}(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x_n(s))ds}\)

\(\displaystyle{ \[ x_0(t)= \left| \begin{array}{cc}
0\\
0
\end{array} \right|.\]}\)

\(\displaystyle{ \[ x_1(t)= \left| \begin{array}{cc}
0\\
e^t-1
\end{array} \right|.\]}\)

\(\displaystyle{ q(t)=\tan (t) \Rightarrow \mathbb{D} \in \mathbb{R} \setminus \left\lbrace \frac{\pi}{2}+k\pi \quad :k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}\)
\(\displaystyle{ g(t)=e^t \Rightarrow}\) ciągła na całym przedziale

Pytanie, czy jest to dobrze rozwiązane ?

Zamiana jest poprawna, ale dalej nie widzę jakiegokolwiek uzasadnienia, a jedynie ścianę znaczków.
Równanie sprowadziło się do zagadnienia Caychy'ego
\(\displaystyle{ \mathbf{x}'(t) = f(t, \mathbf{x}(t))}\)
z warunkiem \(\displaystyle{ \mathbf{x}(0) = \mathbf{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbf{x} = (x_1, x_2)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest zadana wzorem
\(\displaystyle{ f(t,\mathbf{x}) = \left( x_2, -\tg (t) x_1 + e^t \right)}\)
Powinieneś teraz sprawdzić, czy jest ona lokalnie lipschitzowska.
\(\displaystyle{ \| f(t, \mathbf{x}) - f(t,\mathbf{y}) \| = \left\| \left( x_2 - y_2, -\tg (t) x_1 + \tg(t) x_2 \right) \right\| = \left\| \left( x_2 - y_2, (x_2 - x_1) \tg(t) \right) \right\| = \ldots}\)