Równanie niejednorodne

[fluffiq]

Mam równanie i obliczam jego równanie jednorodne. Jak obliczyć równanie niejednorodne ?

\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' + 4y =10t \\}\)

\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' + 4y = 10t \\
t^{2}y'' + ty' - 4y = 0 \\
y=t^r\\
r(r-1)+r+4=0\\ r^2+4=0\\ r_1=0+i2 \vee r_2=0-i2\\ y_o=t^0\left( C_1 \sin 2\ln t +C_2 \cos 2\ln t \right) =C_1 \sin 2\ln t +C_2 \cos 2\ln t}\)

Prosiłbym o wytłumaczenie krok po kroku

[Janusz Tracz]

Proponuję zmienić kolejność podejścia do tego problemu. Podstawieniem \(\displaystyle{ t=e^x}\) sprowadzisz to równanie do

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2}+4y=10e^x}\)

A to rozwiązujemy już standardowo uzmienniając stałe na przykład... rozwiązania równania jednorodnego to \(\displaystyle{ \sin 2x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 2x}\) dlatego można teraz uzmiennić stałe \(\displaystyle{ C_1 \rightarrow C_1(t)}\) oraz \(\displaystyle{ C_2 \rightarrow C_2(t)}\) i rozwiązać

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} \sin 2x & \cos 2x \\ 2\cos 2x & -2\sin 2x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1^\prime \\ C_2^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10e^x \end{pmatrix}}\)

To po wyliczeniu i scałkowaniu pozawala zapisać, że

\(\displaystyle{ y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+2e^x}\)

I jest to już rozwiązanie ogólne. Teraz trzeba tylko wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ t}\) czyli \(\displaystyle{ x=\ln t}\) to daje

\(\displaystyle{ y=C_1\cos \left( 2\ln t\right) +C_2\sin \left( 2\ln t\right) +2t}\)

i jest to ogólne rozwiązanie równania z zadania.

[kerajs]

Proponowałbym metodę przewidywania:
\(\displaystyle{ y_s=At+B \Rightarrow y'_s=A \Leftrightarrow y''_s=0\\
t^2 \cdot 0+t \cdot A+4 \cdot (At+B)=10t\\
5At+4B=10t \Rightarrow A=2 \wedge B=0\\
y=y_o+y_s=...}\)

Uzmiennianie stałych także można zrobić z postaci podanej w temacie, lecz z równaniem różniczkowym zmodyfikowanym do postaci:
\(\displaystyle{ y''+ \frac{1}{t}y'+ \frac{4}{t^2}y= \frac{10}{t}}\)