Następujący układ równań rozwiązać metodą operatorową lub sprowadzając je do układów równań różniczkowych rzędu pierwszego w postaci normalnej.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}}\)
Rozwiązać metoda operatorowa/Sprowadzic do ukł. rzędu 1
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozwiązać metoda operatorowa
Skorzystamy ze wzoru na transformatę Laplace'a pochodnej:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f'(t)\right\} =s\mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} -f(0)}\)
Transformujemy stronami oba równania układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}}\),
dla uproszczenia zapisu oznaczam \(\displaystyle{ X=\mathcal{L}\left\{ x\right\}, \ Y=\mathcal{L}\left\{ y\right\}}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) = \int_{0}^{+\infty}-te^{-st}\,\dd t \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \int_{0}^{+\infty}1\cdot e^{-st}\,\dd t \end{cases}}\)
Po trywialnym przeliczeniu tych całek (pierwsza przez części, druga z podstawowych wzorków) mamy więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =-\frac{1}{s^2} \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \frac 1 s \end{cases}}\)
a więc
\(\displaystyle{ \begin{cases} (s+1)X -sY =-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0) \\ sX+(s+1)Y= \frac 1 s+x(0)+y(0) \end{cases}}\)
Teraz możemy to zapisać w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0)\\\frac 1 s+x(0)+y(0) \end{array}\right) \ (*)}\)
Następnie przydałaby się nam macierz
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)^{-1}}\),
znajdujemy ją ulubioną metodą (np. z operacjami na sklejonej macierzy jednostkowej lub z macierzą dołączoną), mnie wyszła taka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc} s+1&s\\-s&s+1\end{array}\right)}\)
Równość \(\displaystyle{ (*)}\) mnożymy obustronnie z lewej przez tę macierz i dostajemy:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right)}\)
o ilem się nie rąbnął w rachunkach (nieważne jakbym się koncentrował, nawet na egzaminie, zdarza mi się to nagminnie). No i teraz dla każdej współrzędnej z osobna bierzemy transformację odwrotną (nikomu nie życzę tej całki, zamiast tego lepiej skorzystać z podstawowych wzorów, liniowości transformaty Laplace'a i różnowartościowości tejże).
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f'(t)\right\} =s\mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} -f(0)}\)
Transformujemy stronami oba równania układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}}\),
dla uproszczenia zapisu oznaczam \(\displaystyle{ X=\mathcal{L}\left\{ x\right\}, \ Y=\mathcal{L}\left\{ y\right\}}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) = \int_{0}^{+\infty}-te^{-st}\,\dd t \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \int_{0}^{+\infty}1\cdot e^{-st}\,\dd t \end{cases}}\)
Po trywialnym przeliczeniu tych całek (pierwsza przez części, druga z podstawowych wzorków) mamy więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =-\frac{1}{s^2} \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \frac 1 s \end{cases}}\)
a więc
\(\displaystyle{ \begin{cases} (s+1)X -sY =-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0) \\ sX+(s+1)Y= \frac 1 s+x(0)+y(0) \end{cases}}\)
Teraz możemy to zapisać w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0)\\\frac 1 s+x(0)+y(0) \end{array}\right) \ (*)}\)
Następnie przydałaby się nam macierz
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)^{-1}}\),
znajdujemy ją ulubioną metodą (np. z operacjami na sklejonej macierzy jednostkowej lub z macierzą dołączoną), mnie wyszła taka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc} s+1&s\\-s&s+1\end{array}\right)}\)
Równość \(\displaystyle{ (*)}\) mnożymy obustronnie z lewej przez tę macierz i dostajemy:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right)}\)
o ilem się nie rąbnął w rachunkach (nieważne jakbym się koncentrował, nawet na egzaminie, zdarza mi się to nagminnie). No i teraz dla każdej współrzędnej z osobna bierzemy transformację odwrotną (nikomu nie życzę tej całki, zamiast tego lepiej skorzystać z podstawowych wzorów, liniowości transformaty Laplace'a i różnowartościowości tejże).
-
fluffiq
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Re: Rozwiązać metoda operatorowa/Sprowadzic do ukł. rzędu 1
Rozmawiałem z prowadzącym, powiedział żeby spróbować ta druga metodą. A nie bardzo wiem jak.
Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x = -t + y' - x'}\)
\(\displaystyle{ y = 1 - y' - x'}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-1 &1\\-1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-t\\1\end{array}\right)}\),
\(\displaystyle{ V = A \cdot V'}\)
\(\displaystyle{ V' = A^{-1} \cdot V - b}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}t\\-1\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ V_{p}(t) = \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}t\\-1\end{array}\right) = V'_{p}(t) -\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right) V_{p}(t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial \Biggr[ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \Biggr] }{\partial t} - \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right) \Biggr[ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \Biggr]}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) - \Biggr[\left(\begin{array}{cc}-\frac{x}{2} - \frac{y}{2}\\\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{cc}\frac{-a}{2} - \frac{b}{2}\\\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\end{array}\right) \Biggr]}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\\-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc}x+\frac{a}{2}+ \frac{b}{2}\\y-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1 \\ -\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0 \end{cases}}\)
Dodaję stronami i wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}}\)
Póżniej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+\frac{a}{2}+ \frac{b}{2} = 0 \\ y-\frac{a}{2}+\frac{b}{2} = -1 \end{cases}}\)
Po dodaniu stronami i wykorzystaniu wczesniejszych rozwiazań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 1 \\ b = -3 \end{cases}}\)
Z tego wychodzi mi:
\(\displaystyle{ V_{p}t = \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ V' = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ \beta = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ V' = \beta V}\)
\(\displaystyle{ \frac{dV}{V} = \beta dt}\)
\(\displaystyle{ \ln{|V|} = \beta t + C}\)
\(\displaystyle{ |V| = e^{\beta t} e^{C}}\)
\(\displaystyle{ V \pm e^{C} e^{\beta t}}\)
\(\displaystyle{ V_{h} = ke^{\beta t}}\)
\(\displaystyle{ V = V_{h} + V_{p}}\)
\(\displaystyle{ V = ke^{\beta t} + \Biggr[ \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)\Biggr]}\)
\(\displaystyle{ k \in \Re}\)
Co myślicie o tym rozwiązaniu? Prowadzacy powiedział że jest prawie dobrze, ale żebym się przyjrzał lepiej. Co tutaj należałoby poprawić?
Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x = -t + y' - x'}\)
\(\displaystyle{ y = 1 - y' - x'}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-1 &1\\-1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-t\\1\end{array}\right)}\),
\(\displaystyle{ V = A \cdot V'}\)
\(\displaystyle{ V' = A^{-1} \cdot V - b}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}t\\-1\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ V_{p}(t) = \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}t\\-1\end{array}\right) = V'_{p}(t) -\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right) V_{p}(t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial \Biggr[ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \Biggr] }{\partial t} - \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right) \Biggr[ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \Biggr]}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) - \Biggr[\left(\begin{array}{cc}-\frac{x}{2} - \frac{y}{2}\\\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{cc}\frac{-a}{2} - \frac{b}{2}\\\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\end{array}\right) \Biggr]}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\\-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc}x+\frac{a}{2}+ \frac{b}{2}\\y-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1 \\ -\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0 \end{cases}}\)
Dodaję stronami i wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}}\)
Póżniej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+\frac{a}{2}+ \frac{b}{2} = 0 \\ y-\frac{a}{2}+\frac{b}{2} = -1 \end{cases}}\)
Po dodaniu stronami i wykorzystaniu wczesniejszych rozwiazań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 1 \\ b = -3 \end{cases}}\)
Z tego wychodzi mi:
\(\displaystyle{ V_{p}t = \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ V' = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ \beta = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ V' = \beta V}\)
\(\displaystyle{ \frac{dV}{V} = \beta dt}\)
\(\displaystyle{ \ln{|V|} = \beta t + C}\)
\(\displaystyle{ |V| = e^{\beta t} e^{C}}\)
\(\displaystyle{ V \pm e^{C} e^{\beta t}}\)
\(\displaystyle{ V_{h} = ke^{\beta t}}\)
\(\displaystyle{ V = V_{h} + V_{p}}\)
\(\displaystyle{ V = ke^{\beta t} + \Biggr[ \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)\Biggr]}\)
\(\displaystyle{ k \in \Re}\)
Co myślicie o tym rozwiązaniu? Prowadzacy powiedział że jest prawie dobrze, ale żebym się przyjrzał lepiej. Co tutaj należałoby poprawić?
-
fluffiq
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Re: Rozwiązać metoda operatorowa
Ktoś ma jakiś pomysł jak rozwiązaćPremislav pisze:Skorzystamy ze wzoru na transformatę Laplace'a pochodnej:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f'(t)\right\} =s\mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} -f(0)}\)
Transformujemy stronami oba równania układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}}\),
dla uproszczenia zapisu oznaczam \(\displaystyle{ X=\mathcal{L}\left\{ x\right\}, \ Y=\mathcal{L}\left\{ y\right\}}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) = \int_{0}^{+\infty}-te^{-st}\,\dd t \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \int_{0}^{+\infty}1\cdot e^{-st}\,\dd t \end{cases}}\)
Po trywialnym przeliczeniu tych całek (pierwsza przez części, druga z podstawowych wzorków) mamy więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =-\frac{1}{s^2} \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \frac 1 s \end{cases}}\)
a więc
\(\displaystyle{ \begin{cases} (s+1)X -sY =-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0) \\ sX+(s+1)Y= \frac 1 s+x(0)+y(0) \end{cases}}\)
Teraz możemy to zapisać w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0)\\\frac 1 s+x(0)+y(0) \end{array}\right) \ (*)}\)
Następnie przydałaby się nam macierz
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)^{-1}}\),
znajdujemy ją ulubioną metodą (np. z operacjami na sklejonej macierzy jednostkowej lub z macierzą dołączoną), mnie wyszła taka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc} s+1&s\\-s&s+1\end{array}\right)}\)
Równość \(\displaystyle{ (*)}\) mnożymy obustronnie z lewej przez tę macierz i dostajemy:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right)}\)
o ilem się nie rąbnął w rachunkach (nieważne jakbym się koncentrował, nawet na egzaminie, zdarza mi się to nagminnie). No i teraz dla każdej współrzędnej z osobna bierzemy transformację odwrotną (nikomu nie życzę tej całki, zamiast tego lepiej skorzystać z podstawowych wzorów, liniowości transformaty Laplace'a i różnowartościowości tejże).
\(\displaystyle{ {\cal L}^{-1} \left[ \left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right) \right]}\) ?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Rozwiązać metoda operatorowa/Sprowadzic do ukł. rzędu 1
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}\\
x'=-x+y'-t\\
y'=-x'-y+1\\
\begin{cases} x' +x - (-x'-y+1) = -t \\ (-x+y'-t) + y' + y = 1 \end{cases}\\
\begin{cases} 2x'+x+y=1-t \\ 2y'-x+y=1+t \end{cases}\\
\begin{cases} 2x'=-x-y+1-t \\ 2y'=x-y+1+t \end{cases}\\
\begin{cases} x'=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t \\ y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t \end{cases}\\}\)
x'=-x+y'-t\\
y'=-x'-y+1\\
\begin{cases} x' +x - (-x'-y+1) = -t \\ (-x+y'-t) + y' + y = 1 \end{cases}\\
\begin{cases} 2x'+x+y=1-t \\ 2y'-x+y=1+t \end{cases}\\
\begin{cases} 2x'=-x-y+1-t \\ 2y'=x-y+1+t \end{cases}\\
\begin{cases} x'=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t \\ y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t \end{cases}\\}\)