Strona 1 z 1

Równanie różniczkowe

: 17 gru 2018, o 22:48
autor: Wojtus2131
\(\displaystyle{ y'=\frac{x^2+y^2}{xy}-\frac{x^2}{y^2}-2}\)
Jakie podstawienie tu zastosować?

Re: Równanie różniczkowe

: 17 gru 2018, o 22:58
autor: arek1357
\(\displaystyle{ y=xz}\)

\(\displaystyle{ y'=z+xz'}\)

I masz rozwiązane...

Re: Równanie różniczkowe

: 17 gru 2018, o 23:12
autor: Wojtus2131
hm...
\(\displaystyle{ z+z'x=\frac{x^2+x^2z^2}{x^2z}-z^2-2}\)
\(\displaystyle{ z+z'x=\frac{1+z^2}{z}-z^2-2}\)
\(\displaystyle{ z'x=\frac{1}{z}-z^2-2}\)
\(\displaystyle{ \frac{xdz}{dx}=\frac{1-z^3-2z}{z}}\)
\(\displaystyle{ \frac{zdz}{1-z^3-2z}=\frac{dx}{x}}\)
i wychodzi dziwna całka, a przecież zależy nam na wyliczeniu z?

Re: Równanie różniczkowe

: 17 gru 2018, o 23:21
autor: arek1357
W równaniu różniczkowym raczej chodzi o rozwiązanie go a nie wyliczeniu jakiejś zmiennej to czasem się ciut różni...

I radzę Ci właśnie rozwiązać tę całkę co nie jest czymś niezwykłym...

Masz mały błąd zamiast \(\displaystyle{ z^2}\) winno być:

\(\displaystyle{ \frac{1}{z^2}}\)

Re: Równanie różniczkowe

: 17 gru 2018, o 23:26
autor: Wojtus2131
no tak, ale krokiem prowadzącym do rozwiązania jest wyliczenie z
wolfram wypluwa coś paskudnego, stąd moje wątpliwości

Re: Równanie różniczkowe

: 17 gru 2018, o 23:32
autor: arek1357
jest wyliczenie z
Wcale to nie musi być prawdą...

Przeważnie rozwiązaniem równania różniczkowego jest rodzina krzywych...

Re: Równanie różniczkowe

: 17 gru 2018, o 23:47
autor: Wojtus2131
zatem mamy
\(\displaystyle{ z'x=\frac{z-1-2z^2}{z^2} \\
\frac{\mbox{d}x}{x}=\frac{z^2\mbox{d}z}{z-1-2z^2} \\
\ln |x|=\frac{1}{56}\left(6\sqrt{7}\arctan \frac{4z-1}{\sqrt{7}}-7\left( \ln \left(2z^2-z+1\right)+4z\right)\right)}\)

co dalej?

Re: Równanie różniczkowe

: 17 gru 2018, o 23:58
autor: arek1357
Podstaw za:

\(\displaystyle{ z= \frac{y}{x}}\)

I masz koniec...

Re: Równanie różniczkowe

: 18 gru 2018, o 14:45
autor: JakubP-Jzero
arek1357, A czy możesz pokazać jak ten koniec wygląda ? Bo zastosowałem to podstawienie i również znajduję tam aż nazbyt ciekawą całkę.

Równanie różniczkowe

: 18 gru 2018, o 23:25
autor: janusz47
\(\displaystyle{ y' = \frac{x^2 + y^2 }{x\cdot y} -\frac{x^{2}}{y^2} - 2 \ \ (0)}\)

\(\displaystyle{ y' = \frac{x}{y}+ \frac{y}{x} - \left(\frac{x}{y}\right)^2 - 2}\)

Jest to równanie postaci:

\(\displaystyle{ y' = g\left(\frac{y}{x}\right) \ \ (1)}\)

W literaturze równania tego typu nazywane są równaniami jednokładności (skali jednokładności).

Jeśli podstawimy \(\displaystyle{ w = \frac{y}{x},}\) to prawa strona równania \(\displaystyle{ (0)}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ g(w) = w + \frac{1}{w} - \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ D = \left \{(x, y): x\neq 0 , y\neq 0, c < \frac{y}{x}< d \right\}.}\)

Celem rozwiązania równania \(\displaystyle{ (0)}\) wprowadzamy pomocniczą funkcję niewiadomą:

\(\displaystyle{ w = \psi(x) = \frac{\phi(x)}{x},}\) gdzie \(\displaystyle{ y = \phi(x)}\)

Mamy więc \(\displaystyle{ \phi(x) = x\cdot \psi(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \phi'(x) = \psi(x) +x\cdot \psi'(x)}\)

Wstawiając do równania \(\displaystyle{ (1)}\) - otrzymujemy

\(\displaystyle{ \psi(x) +x\cdot \psi'(x) = g(\psi(x))}\)

czyli

\(\displaystyle{ \psi'(x) = \frac{g(\psi (x)) -\psi(x)}{x}}\)

Równanie \(\displaystyle{ (1)}\) sprowadziliśmy więc do równania:

\(\displaystyle{ w' = \frac{g(w) - w}{x} \ \ (3)}\)

Podstawiamy (2) do (3)

\(\displaystyle{ w' = \frac{w + \frac{1}{w} - \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 - w}{x}}\)

\(\displaystyle{ w' = \frac{\frac{1}{w} - \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 }{x}}\)

\(\displaystyle{ w' = \frac{1}{w\cdot x} + \frac{1}{w^2\cdot x} -\frac{2}{x}}\)

\(\displaystyle{ w' = \frac{-2w^2 +w +1}{w^2\cdot x} \ \ (4)}\)

Otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielających się:

\(\displaystyle{ \frac{w^2\cdot w'}{-2w^2 +w+1} = \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}w + \frac{1}{2}}{-2(w-1)(w+\frac{1}{2})}\right)\cdot w' = \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\left( \frac{w+1}{(w-1)(w+\frac{1}{2})}\right)\cdot w' = \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2} -\frac{1}{4}\left( \frac{\frac{4}{3}}{w-1} -\frac{\frac{1}{3}}{w+\frac{1}{2}} \right) \right) \cdot w' = \frac{1}{x} \ \ (5)}\)

Podstawiamy różniczkę \(\displaystyle{ w'dx = dw}\) i całkujemy obustronnie równanie \(\displaystyle{ (5)}\)względem \(\displaystyle{ x,}\) otrzymując:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}w -\frac{1}{3}\ln|w-1| +\frac{1}{12} \ln |w+\frac{1}{2}| = \ln |x| + C}\)


\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}w -\frac{1}{12}\ln \left( \frac{|w-1|^4}{|x|\cdot |w+\frac{1}{2}|}\right)= C.}\)

Kładąc \(\displaystyle{ w = \frac{y}{x},}\) otrzymujemy całkę ogólną równania \(\displaystyle{ (0)}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{x} -\frac{1}{12}\ln \left( \frac{|\frac{y}{x}-1|^4}{|x| \cdot |\frac{y}{x}+\frac{1}{2}|}\right) = C.}\)