Rozwiązać problem początkowy

[fluffiq]

\(\displaystyle{ y'' + 5y' + 6y = f_{(t)}}\)

\(\displaystyle{ y_{(0)} = 0}\)

\(\displaystyle{ y'_{(0)} = 2}\)

gdzie

\(\displaystyle{ f_{(t)} = \begin{cases} 3, 0 \le t < 6 \\ 0, t \ge 6 \end{cases}}\)

[Premislav]

Jak już wspomniałeś o transformacie Laplace'a, to z tego łatwo idzie (i ze wzorów na transformatę pochodnej itd.).

[fluffiq]

Jak już wspomniałeś o transformacie Laplace'a, to z tego łatwo idzie (i ze wzorów na transformatę pochodnej itd.).

Właśnie mam problem z tym że nie bardzo umiem zacząć robić to zdanie. Bo chyba można to robić schematycznie.

[Premislav]

No to przecież użycie transformaty Laplace'a to schemat jak nic.

\(\displaystyle{ y'' + 5y' + 6y = f_{(t)}}\)
Transformujemy obie strony, tj.
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{y'' + 5y' + 6y \right\} =\mathcal{L}\left\{ f_{(t)} \right\}}\)
Po prawej mamy więc
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}\,\dd t= \int_{0}^{6} 3e^{-st}\,\dd t+ \int_{6}^{+\infty}0e^{-st}\,\dd t=\\=\frac 3 s-\frac 3 s e^{-6s}}\)
Natomiast jeśli chodzi o lewą stronę, to korzystamy z liniowości transformaty Laplace'a i z:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left( f^{(n)}(t)\right) =s^nF(s)- \sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0)}\)
mamy
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{y'' + 5y' + 6y \right\}=s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+5sF(s)-5y(0)+6F(s)=\\=(s^2+5s+6)F(s)-2}\)
gdzie \(\displaystyle{ F(s)}\) jest transformatą Laplace'a funkcji \(\displaystyle{ y}\).
Czyli
\(\displaystyle{ F(s)= \frac{\frac 3 s-\frac 3 se^{-6s}+2}{s^2+5s+6}= \frac{3-3e^{-6s}+2s}{s(s+2)(s+3)}}\)
No i teraz chcemy znaleźć transformatę odwrotną.
Ten fragment
\(\displaystyle{ \frac{2s+3}{s(s+2)(s+3)}}\)
to się łatwo rozkłada na ułamki proste, natomiast jeśli chodzi o
\(\displaystyle{ \frac{-3e^{-6s}}{s(s+2)(s+3)}}\),
to zapewne wypadałoby skorzystać z twierdzenia Borela o splocie.