Znależć równanie krzywej o Własności

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 31 razy

Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: maritka210 »

Znaleźć równanie krzywej o tej własności, że promień krzywizny jest proporcjonalny do długości normalnej.
Promień krzywizny krzywej \(\displaystyle{ y(x)}\) określony jest wzorem

\(\displaystyle{ R = \frac{(1+y'^2)^ \frac{3}{2} }{\left| y''\right| }}\)

Długość normalnej jest to długość odcinka na normalnej do krzywej, łączącego punkt na krzywej z punktem przecięcia normalnej z osią Ox.
Ostatnio zmieniony 1 gru 2018, o 16:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: Peter Zof »

Rozumiem, że ograniczamy się do krzywych planarnych które są wykresami funkcji? Jeśli tak to bierzesz krzywą \(\displaystyle{ \gamma(t)=(t,f(t))}\) i starasz znaleźć warunki jakie musi spełniać \(\displaystyle{ f}\). Masz zatem w każdym "czasie"\(\displaystyle{ t}\) liczbę \(\displaystyle{ R_{\gamma}(t)=R(t)=\frac{(1+f'(t)^2)^{3/2}}{|f''(t)|}}\) jak zapewne wiesz, jest to długość okręgu ściśle stycznego do \(\displaystyle{ \gamma}\) w \(\displaystyle{ t}\). To co musisz zrobić to wyliczyć równanie prostej normalnej \(\displaystyle{ N_{t}(s)}\) do \(\displaystyle{ \gamma}\) w czasie \(\displaystyle{ t}\). Równanie tej prostej ma postać \(\displaystyle{ N_t(s)=- \frac{s-t}{f'(t)}+f(t)\right)}\). Interesuje Cię argument \(\displaystyle{ s}\) dla którego prosta \(\displaystyle{ N_t}\) przecina oś \(\displaystyle{ OX}\). Musisz więc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ N_t(s)=0}\), powinno wyjść, że \(\displaystyle{ s=f(t)f'(t)-t}\). Zatem punkty wyznaczające końce interesującego Cię odcinka to: \(\displaystyle{ P_1(t)=(t,f(t)),P_2(t)=(f(t)f'(t)-t,0)}\). To co pozostaje to wyliczyć długość \(\displaystyle{ d(t)}\) odcinka \(\displaystyle{ \overline{P_1(t)P_2(t)}}\) i rozwiązać równanie na proporcjonalność, tzn. aby dla stałej \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\) i każdego \(\displaystyle{ t}\) zachodziła równość: \(\displaystyle{ R(t)=\lambda d(t)}\). Tak więc będziesz musiała zmierzyć się z równaniem różniczkowym ^^
Ostatnio zmieniony 2 gru 2018, o 00:51 przez Peter Zof, łącznie zmieniany 1 raz.
maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 31 razy

Re: Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: maritka210 »

Niestety przerasta mnie to zadanie. Jest ktoś na forum, kto umie rozwiązać to zadanie całościowo?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: arek1357 »

Upraszczając:

Długość normalnej to:

\(\displaystyle{ y \sqrt{1+y'^2}}\)

masz więc równanie:

\(\displaystyle{ y \sqrt{1+y'^2}= a\frac{(1+y'^2) \sqrt{1+y'^2} }{|y''|}}\)

lub:

\(\displaystyle{ y= a\frac{(1+y'^2) }{|y''|}}\)


podstaw:

\(\displaystyle{ y'=u}\)

\(\displaystyle{ y''= \frac{du}{dx}= \frac{du}{dy} \frac{dy}{dx}=u \frac{du}{dy}}\)

to podstawienie załatwia sprawę równania...
maritka210
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 2 sty 2018, o 18:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 31 razy

Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: maritka210 »

Długość normalnej to: \(\displaystyle{ y \sqrt{1+y'^2}}\)

Otrzymujemy równanie : \(\displaystyle{ y \sqrt{1+y'^2}= a\frac{(1+y'^2) \sqrt{1+y'^2} }{|y''|}}\)

lub \(\displaystyle{ y= a\frac{(1+y'^2) }{|y''|}}\)

podstawiamy :

\(\displaystyle{ y'=u}\)

\(\displaystyle{ y''= \frac{du}{dx}= \frac{du}{dy} \frac{dy}{dx}=u \frac{du}{dy}}\)

\(\displaystyle{ y = a \cdot \frac{(1 + u^2)}{\left| u \frac{du}{dy}\right| }}\)

\(\displaystyle{ \frac{du}{dy} = - \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u} \quad \vee \quad \frac{du}{dy} = \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}}\)

Dla : \(\displaystyle{ \frac{du}{dy} = - \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}}\)

\(\displaystyle{ \frac{du}{dy} = - \frac{a( \frac{1}{u} + u )}{y} / : ( \frac{1}{u}+u)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } = - \frac{a}{y}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } dy = \int_{}^{} - \frac{a}{y} dy}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} log(u^2 + 1 ) = -alog(y) +C1}\)

\(\displaystyle{ u = - \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1 } \quad \vee \quad u = \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1 }}\)

Dla : \(\displaystyle{ \frac{du}{dy} = \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}}\)

\(\displaystyle{ \frac{du}{dy} = \frac{a( \frac{1}{u} + u )}{y} / : ( \frac{1}{u}+u)}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } = \frac{a}{y}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } dy = \int_{}^{} \frac{a}{y} dy}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} log(u^2 + 1) = alog(y) + C1}\)

\(\displaystyle{ u = - \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1 } \quad \vee \quad u = \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1 }}\)



wyniki

\(\displaystyle{ u = - \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1 } \quad \vee \quad u = \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1 } \quad \vee \quad u = - \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1 } \quad \vee \quad u = \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1 }}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Znależć równanie krzywej o Własności

Post autor: arek1357 »

W sumie fajnie tylko trzeba dokończyć:

\(\displaystyle{ u= \frac{dy}{dx}}\)

szczerze to dla.: \(\displaystyle{ a \neq 1}\) ta całka będzie wyglądała nieciekawie prawdziwy Meksyk... , ale pobaw się tym...
ODPOWIEDZ