Rozwiąż równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
rafal9541
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 31 sty 2012, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: rafal9541 » 30 lis 2018, o 23:01

Hej, otrzymałem takie zadanie. Być może jest ono prostsze niż mi się wydaje, jednak utknąłem w jednym punkcie. Liczę, że pomożecie
Jeśli to możliwe proszę o pomoc do godziny 11:00 dnia 1 grudnia bo wtedy upływa mi termin dostarczenia rozwiązania.

Rozwiąż równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{3x}= \frac{x^{3} }{1+x^{2} }}\)
moje rozwiązanie
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}- \frac{1}{3x} \cdot y= \frac{x^{3} }{1+x^{2} } \\ \frac{dy}{dx}- \frac{1}{3x} \cdot y =0 \\ \frac{dy}{y}=\frac{dx}{3x} \\ \ln |y|= \frac{1}{3} \cdot \ln |x| +C \\ e^{\ln |y|} = e^{ \frac{1}{3} \cdot \ln |x|+C } \\ |y|= C_{1} \cdot e^{ \ln |x|^{ \frac{1}{3} } } \\ y= \pm C_{1} \cdot |x|^{ \frac{1}{3} }}\)

Tu pozostaje pytanie co zrobić z wartością bezwzględną przy \(\displaystyle{ x}\). Czy rozważać różne przypadki dla wartości dodatnich i ujemnych. Jeżeli ktoś może bardzo proszę o dalszą część rozwiązania.
Ostatnio zmieniony 30 lis 2018, o 23:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2320
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 704 razy

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Janusz Tracz » 30 lis 2018, o 23:08

Nie rozważaj przypadków \(\displaystyle{ C}\) to jakaś stała i mniejsza o to czy jest przed nią minus czy nie, to dalej jakaś stała. Więc napisał bym że

\(\displaystyle{ y=C \sqrt[3]{x}}\)

i uzmiennił stałą i tak dokończył równanie. Bez warunku początkowego o stałej \(\displaystyle{ C}\) i tak nic nie powiesz.

rafal9541
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 31 sty 2012, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: rafal9541 » 1 gru 2018, o 00:16

Dzięki za szybką odpowiedź.
Czyli:
\(\displaystyle{ y= C_{1} (x) \sqrt[3]{x}}\)

Idąc dalej:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = C_{1}'(x) \cdot x^{ \frac{1}{3} }+ C_{1} (x) \cdot \frac{1}{3} x^{ -\frac{2}{3} }}\)

Próbując podstawić te wyrażenia do pierwotnego równania niestety wyrażenia z \(\displaystyle{ C _{1}(x)}\) się nie kasują a powinny. Coś robię niepoprawnie?
Ostatnio zmieniony 1 gru 2018, o 01:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: mortan517 » 1 gru 2018, o 00:34

Wszystko jest w porządku, widocznie źle podstawiasz do swojego równania.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14276
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 4690 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Premislav » 1 gru 2018, o 00:38

Zróżniczkowałeś dobrze, może źle wstawiasz. Mnie to wychodzi tak:
\(\displaystyle{ C_1'(x)x^{\frac 1 3}+\frac 1 3 C_1(x)x^{-\frac 2 3}-\frac{C_1(x)x^{\frac 1 3}}{3x}=\frac{x^3}{1+x^2}}\)
I teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{x^{\frac 1 3}}{3x}=\frac 1 3x^{-\frac 2 3}}\), zatem
\(\displaystyle{ C_1'(x)x^{\frac 1 3}=\frac{x^3}{1+x^2}\\C_1'(x)=\frac{x^{\frac 8 3}}{1+x^2} \\ C_1(x)= \int_{}^{}\frac{x^{\frac 8 3}}{1+x^2}\,\dd x}\)
i tę całkę możesz już dość łatwo policzyć, możesz np. zauważyć, że \(\displaystyle{ x^{\frac 8 3}=(x^2+1-1)x^{\frac 2 3}}\), rozbijasz na różnicę całek, a potem podstawiasz np. \(\displaystyle{ t=x^{\frac 1 3}}\) i masz całkę z funkcji wymiernej.
Ale jestem po kilku piwach, więc mogę się mylić, a nawet jest to prawdopodobne, czyli lepiej spojrzyj na te rachunki powoli i spokojnie, i zastanów się, czy to Cię przekonuje, czy widzisz, co z czego się wzięło.

rafal9541
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 31 sty 2012, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: rafal9541 » 1 gru 2018, o 09:06

Dzięki Panowie, rzeczywiście wcześniej źle podstawiałem, musiałem chyba być już wieczorem zmęczony

Premislav, dzięki za rozpisanie tego. Teraz jeszcze próbuję tego podstawienia \(\displaystyle{ x^{\frac{1}{3}}}\) za \(\displaystyle{ t}\) przy wyliczeniu całki. Niestety wydaje mi się, że rachunki dalej nie są sprzyjające a sprawa zaczyna coraz bardziej się komplikować. Czy jest na to jakiś szybki sposób?

Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: mortan517 » 1 gru 2018, o 13:04

Raczej brzydka całka wychodzi:
wolfram

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14276
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 4690 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Premislav » 1 gru 2018, o 13:43

Niech tam, lubię liczyć całki, choć to nie jest ambitniejsze niż rozwiązywanie krzyżówek Technopolu (które też czasem praktykuję).
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^{\frac 8 3}}{1+x^2}\,\dd x=\\= \int_{}^{} \frac{(x^2+1-1)x^{\frac 2 3}}{1+x^2\,\dd x} =\\= \int_{}^{} x^{\frac 2 3}\,\dd x- \int_{}^{} \frac{x^{\frac 2 3}}{1+x^2} \,\dd x}\)
i teraz tę pierwszą całkę zgadujemy, a druga:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^{\frac 2 3}}{1+x^2}\,\dd x=\left|\begin{array}{ccc}t=x^{\frac 1 3}\\x=t^3\\\,\dd x=3t^2\,\dd t\end{array}\right|=\\= \int_{}^{} \frac{3t^4}{1+t^6}\,\dd t}\)
i nietrudno wyliczyć, że
\(\displaystyle{ \frac{3t^4}{t^6+1}=\frac{1}{t^2+1}+\frac{2t^2-1}{t^4-t^2+1}}\)
a teraz tak:
\(\displaystyle{ t^4-t^2+1=(t^2+1)^2-3t^2=(t^2-\sqrt{3}t+1)(t^2+\sqrt{3}t+1)}\)
i mamy
\(\displaystyle{ \frac{2t^2-1}{t^4-t^2+1}=\frac{At+B}{t^2-\sqrt{3}t+1}+\frac{Ct+D}{t^2+\sqrt{3}t+1}}\),
sprowadzając do wspólnego mianownika i tworząc układ równań, mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases}A+C=0\\B+\sqrt{3}A+D-\sqrt{3}C=2\\A+B\sqrt{3}+C-D\sqrt{3}=0 \\ B+D=-1 \end{cases}}\)
Po krótkich obliczeniach dostajemy
\(\displaystyle{ A=-C=\frac{\sqrt{3}}{2}, B=D=-\frac 1 2}\),
a z czymś takim już sobie, jak mniemam, poradzisz:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\,\dd t}{1+t^2}+ \int_{}^{} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac 1 2}{t^2-\sqrt{3}t+1}\,\dd t+ \int_{}^{} \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac 1 2}{t^2+\sqrt{3}t+1}\,\dd t}\)
No i nie zapomnij, że jest jeszcze z tego początku
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^{\frac 2 3}\,\dd x=\frac 3 5 x^{\frac 5 3}+C}\).

Można też spróbować całkowania przez części, ale nic szybkiego do głowy mi nie przychodzi.

rafal9541
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 31 sty 2012, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: rafal9541 » 1 gru 2018, o 17:08

Dzięki wielkie za poświęcenie czasu Premislav. Co prawda nie udało mi się tego dostarczyć rozwiązania na czas, mimo to zapamiętam metodę, przyda się jeszcze na przyszłość

ODPOWIEDZ